多元函数积分学(中

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1、分析：由于由平面，围成，不难看出所有边界曲面的方程中含有变量的方程恰好有两个，故可将向平面投影，得一平面区域；的边界曲面的全部方程中只含变量的方程及两个含变量的方程消去得到的一个关于变量、的方程便是平面区域的边界曲线的方程；的边界曲面的全部方程中含变量的方程，为先积的定积分的积分限．解：将向平面投影，得一平面区域，由，围成，见图．（2）“先二后一”即将三重积分化为：评注：当积分域是旋转体时，一般采用“先二后一”计算．命题1：如果积分区域是绕轴旋转而成的旋转体时①将向轴投影得投影区间；②，过点作轴的垂直平面，该平面截得平面区域则

2、其余两个命题类似．318[例2.3]计算，其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面与两平面围成的立体．分析：由于是旋转体，故采用“先二后一”计算，而是绕轴旋转而成的旋转体，需将向轴投影．解：将向轴投影得投影区间，由于由及曲面围成，所以为于是．3．利用柱坐标计算⑴柱坐标系下的体积元素，⑵柱坐标系下的三次积分的先后次序一般为评注：当是圆柱体、圆锥体、锥球体、旋转抛物面与平面围成的立体、旋转抛物面与球面围成的立体，而被积函数形如时，一般采用柱坐标来计算三重积分．[例2.4]计算，其中是由及围成的闭区域．分析：是圆锥体，被积函数形如，故选用柱

3、坐标计算．解：．4．利用球坐标计算⑴球坐标与直角坐标的关系：，，，⑵球坐标系下的体积元素，318⑶球坐标系下三次积分的先后次序一般为评注：当是球体、球体的一部分、锥球体，而被积函数形如时，一般用球坐标计算三重积分．[例2.5]，其中是由球面所围成的闭区域．分析：由于是球体，被积函数形如，故选用球坐标计算．解：．三、三重积分的应用设有一物体，在空间占有区域，其上每一点的体密度为，且在上连续，在空间点处有一质量为的质点，则1．该物体的质心坐标为：，，2．该物体绕轴的转动惯量绕轴的转动惯量：绕轴的转动惯量：绕轴的转动惯量：绕直线的转

4、动惯量：3183．该物体对质点的引力为：，●●常考题型及其解法与技巧一、概念、性质的理解[例6.2.1]设是连续函数，，则时，下面说法正确的是（A）是的一阶无穷小（B）是的二阶无穷小（C）是的三阶无穷小（D）至少是的三阶无穷解：由积分中值定理得，其中，当时，，于是，因此选（D）．[例6.2.2]设，则．解：因为是的奇函数，且关于平面对称，故，所以．二、三重积分的计算Ⅰ利用“先二后一”计算若被积函数是一元函数，积分域是球体、半球体、椭球体、半椭球体，一定选择利用“先二后一”完成；若积分域是旋转体时一般选择利用“先二后一”完成．解

5、题的一般思路：①将积分域向相应坐标轴投影，得投影区间；②确定先积的二重积分的积分域；③将三重积分化为“先二后一”计算．[例6.2.3]计算下列三重积分318（1），其中；（2），其中为解：（1）将投影到轴，得投影区间，此时可得，则．（2）将投影到轴，得投影区间，此时可得，则．[例6.2.4]计算下列三重积分（1），其中是由曲线绕轴旋转一周所得曲面与平面围成的立体；（2）计算其中是由及围成的闭区域．解：（1）由旋转抛物面与平面围成．将投影到轴，得投影区间，此时可得，则；（2）将投影到轴，得投影区间，此时可得，则318．评注：“先

6、二后一”是三重积分计算部分最重要的做题手段，除了前面提到的两种情况用该方法外，当是其它一些情况时也应留意用该方法．[例6.2.5]计算，其中为由及围成的四面体．解：将投影到轴，得投影区间，此时可得由围成，则．Ⅱ利用“先一后二”计算此法特别适合无法画出积分域的图形，或者域的图形非常复杂的三重积分的计算．解题思路：①写出积分区域的全部边界曲面的方程；②根据的全部边界曲面的方程的特点将向相应坐标面投影，得平面区域；③确定先积的定积分的上下限；④将三重积分化为“先一后二”计算．[例6.2.6]计算，其中由曲面及平面围成．解法一：由曲面

7、及平面围成，从而的所有边界曲面中含有变量的方程刚好有两个，因此将投影到平面上得投影区域为．由及围成．其图形如右下图所示所以．解法二：由曲面及平面围成，从而318的所有边界曲面中含有变量的方程刚好有两个，因此将投影到平面上得投影区域为．由及围成．其图形如右下图所示所以．[例6.2.7]计算，其中由抛物柱面平面，，所围成的区域．解：由于由抛物柱面平面，，所围成，从而的所有边界曲面中含有变量的方程刚好有两个，因此将投影到平面上得投影区域为．由曲线，直线围成．其图形如右下图所示所以．Ⅲ利用柱坐标计算若积分域的形状是柱体、锥体或由柱面、

8、锥面、旋转曲面与其它曲面所围成的立体时，一般适宜用柱坐标计算．[例6.2.8]计算下列三重积分（1），其中是由曲面所围的区域．（2），是由球面与抛物面所围的区域．解：（1）由于在平面上的投影域是圆域，故采用柱坐标．318曲面与的交线为，所以故．（2）由于在平面上的投影域是圆域