多元函数积分学

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1、第十一章多元函数积分学第一节二重积分的概念与计算第二节二重积分的概念与计算(续)第三节二重积分应用举例第一节二重积分的概念与计算一、二重积分的概念与性质1．引例：曲顶柱体的体积（1）曲顶柱体—以曲面为顶（）以平面上的有界闭域为底，侧面是以的边界线为准线、母线平行于轴的柱面的立体（如图）称为曲顶柱体．（2）曲顶柱体的体积如果曲顶柱体的高度不变，则它的体积等于底面积高，但曲顶柱体的顶是曲面，因此不能直接用上面的公式求例如，级数的一般项为又如级数的一般项为简言之，数列的和式称为级数.定义2设级数（11．1）的前项之和为称Sn为级数的前项部分和．当依次取1，2，3，…时，新的数列，…，，…，数列

2、称为级数的部分和数列．若此数列的极限存在，即(常数),则S称为的和，记作此时称级数收敛．如果数列没有极限，则称级数发散，这时级数没有和．当级数收敛时，其部分和是级数和S的近似值，称为级数的余项，记作，即．例1判定级数的敛散性.解已知级数的前n项和是：因为,所以这个级数收敛,其和为1.例2判定级数的敛散性解已知级数的前n项和是因为，所以这个级数发散.例3讨论等比级数（也称几何级数）的敛散性.解(1)前n项和当时，，所以级数收敛，其和当时，所以级数发散.(2)当时，于是所以级数发散.当时，，其前n项和显然，当n→∞时，Sn没有极限.所以，级数发散.综上所述，等比级数，当时收敛,当时发散.例如

3、，级数1+2+4+8+…+2n-1+…是公比为2的几何级数,由于，所以级数是发散的级数是公比为-1的几何级数,由于，所以该级数发散.注意几何级数的敛散性非常重要.无论是用比较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础..例4把循环小数化为分数.解把化为无穷级数这是公比为的几何级数，由等比数列求和公式所以这个无穷级数的和为，即2．数项级数的基本性质性质1如果级数收敛，其和为s,k为常数，则级数也收敛，其和为ks；如果级数发散，当k≠0时，级数也发散.由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变..性质2若级数与分别收敛于β与，则级数，收

4、敛于性质3添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变.性质4若级数收敛，则对其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变.应当注意，性质4的结论反过来并不成立.即如果加括号后级数收敛，原级数未必收敛..例如级数（1-1）+（1-1）+…+（1-1）+…显然收敛于零，但级数1+1-1+…+1-1+…却是发散的.性质5（两边夹定理）如果≤≤且和都收敛，则也收敛．性质6（级数收敛的必要条件）若级数收敛，则例5判别级数的敛散性解因为所以级数发散.例6判别级数的敛散性.解级数与级数都收敛，故由性质2知，级数收敛.注意性质6可以用来判定级数发散：如果级数一般项不趋于零，则该级数必定发散.应当

5、看到，性质6只是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条件，也就是说，即使，也不能由此判定级数收敛.下面的例9正说明了这一点：，但级数发散.例7证明调和级数是发散级数.证调和级数部分和如图，考察曲线，所围成的曲边梯形的面积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系.所以，阴影部分的总面积为它显然大于曲边梯形的面积S，即有而，表明A的极限不存在，所以该级数发散.二、正项级数及其敛散性如果≥0（n=1,2,3…），则称级数为正项级数定理1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.例1证明正项级数是收敛的证因为于是对任意的有即正项级数的部分和数列有界，故级数收敛.定理2（比较判别法）设和是

6、两个正项级数，且(1)若级数收敛，则级数也收敛；(2)若级数发散，则级数也发散.例2讨论级数（）的敛散性解当时，，因为发散，所以由比较判别法知，当时，发散.当时，顺次把级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，8到15项，…加括号后得它的各项显然小于级数对应的各项，而所得级数是等比级数，其公为，故收敛，于是当时，级数收敛.综上所述，级数当时发散，当时收敛.注意级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，因此有关级数敛散性的结论必须牢记.例3判定级数的敛散性.解因为级数的一般项满足而级数是p＝2的级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.例4判别级数的敛散性.解因为而是由调和级数去掉前两项后所得的

7、级数，它是发散的，所以由比较判别法知级数发散.定理3（达朗贝尔比值判别法）设是一个正项级数，并且，则(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散；(3)当时，级数可能收敛，也可能发散.例5判别下列级数的敛散性(1)；(2)解(1)所以级数发散；(2)所以级数收敛.要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行：(1)用级数收敛的必要条件如果，则级数发散，否则需进一步判断.(2)用比值判别法如果，即比值判别法失效，则改用比较判别法.(3