多元函数积分学(6)

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1、2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学第六章多元函数积分学2008考试内容(本大纲为数学1，数学2-4需要根据大纲作部分增删)二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度的概念及计算曲线积分的应用2008考试要求1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标

2、、柱面坐标、球面坐标）。3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。4.掌握计算两类曲线积分的方法。5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分。7.了解散度与旋度的概念，并会计算。8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）。陈氏第13技（独家技巧）关于平面积分（二重积分）和空间积分（三

3、重积分、二类曲线积分和两类曲面积分）共六类积分的方法和技巧。后积先定常数限；先积方向正直穿。相交必须同一线；否则域内要分拆。隐含边界辅助线；极坐标逆弧圆。多种曲线同园拆；六大对称记心间。三重积分切穿影；曲线曲面入路径。闭线闭面高托格；开线开面三补全。开面锐正闭面外；正规区域一项算。极柱球系雅换元；六类积分谙转换。3122009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学第一节多元函数积分学之一（平面积分或二重积分）一、三基层面及其拓展1、性质与定理①比较定理②估值定理分别为在闭区域上的最大与最小值，为的面积，则③中值定理●在上连续，则●在上连续，则④几何意义等于以为底，以为顶的曲顶柱体的体积。

4、2、二重积分的六大对称性如果积分区域具有轴或点对称（令表示的一半区域，即中对应部分，余类推），被积函数同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列六类对称性定理。①关于轴对称（关于轴对称类推）②关于都对称③关于原点对称3122009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学④当和关于某一直线对称，对同一被积函数，则⑤关于轴对称⑥万能轮换对称性适合六类积分。●轮换对称性概念如果将与及交换，即,，后，积分区域方程不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六

5、类多元函数积分中都成立。●当区域具有轮换时，被积函数变量轮换后积分值不变。如区域关于轮换，则区域关于轮换实例3122009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学3、二重积分次序选择原则①先看积分区域的边界方程，那个变量幂次高，就后积此变量；【例1】计算由所围。解：幂次高，所以先积②若被积函数只有一个变量，就后积此变量；【例2】，D由所围。解：被积函数只有一个变量，先积③积分次序一般以尽可能不拆分区域（即为正规区域）为基准。4、二重积分次序的更换方法陈氏穿线法【原创】后积先定常数限，先积方向正直穿；相交必须同一线，否则域内要分拆；隐含边界须周全，6类对称挂耳边；极坐标逆弧线，多种边界同园拆

6、。5、换元法技巧以尽可能简便为出发点，再参考的特征。如球对称用球坐标，锥体用柱坐标等，微分元换算利用雅可比行列式。3122009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学其中雅可比矩阵6、莱布尼茨关于变限积分的求导公式二、重要题型与解法秘诀【例3】::解：为偶函数数，关于都对称，正好是的，故【例4】计算解：（1）关于对称关于都是奇数（2）关于原点对称，为偶函数，故=【例5】更换积分次序解：及作图形，得：【例6】交换积分次序解：3122009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学画出图形，得：【例7】更换积分次序解：【例8】更换积分次序解：如改为先后则有下列两点技巧①的边界曲线全都用极坐标

7、表示②若以原点为圆心的一系列同心圆与y区域的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处用逆时针园弧线把的区间分为两个正规区域：陈氏第14技能否使用极坐标主要由被积函数的特点决定，而不是由区域特点所决定；使用极坐标方式有两种：原位法：平移法：，选择的原则是使被积函数容易积出，一般来说，被积函数具有或形式时，使用极坐标会大大简化计算。如果选择不当会使积分求解复杂。请反复研究【例9】【例10】和【例11】。●常用结论【