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1、4、二元函数的极值、最值1°极值定义P208f（x0、y°）为极人值f（x、y）f（x0>y0）f（x。、y°）为极小值o、y（））=oo、Yo）=0驻点<-极值点，需判别设f；（x（）、y（））=A、f：y（x（）、y0）=B、堆（x（）、y（））=CB2-ACf(x°、Yo)<0A<0极大值A>0极小值>0非极值=0不定例1>求z=x3+y3-3xy的极值解：f；=3x2-3y,f；=3y2-3x,f；x=6x,f；厂6y=0=03x2-3y=03y2-3x=0yi得驻点（0,0）,（1,1）在(0,0),B2-A
2、C
3、(oo)=(-3)2-O=9>O・•・f(o,o)非极值(1,1)，B2-AC
4、(11)=(-3)2-36<0(1,1)为极值点XA
5、(IJ)=6>0・・・f(l,l)=-1为极小值例2、求z=x2y（5-x-y）在闭区域D：x>0,y>0,x+yW4的最大，最小值。解：f；=xy（10-3x-2y）,f；=x?（5_x_2y）xy（10-3x-2y）=0x2（5-x-2y）=05x=—2（在D内）＜5在D的内部函数只有-个驻点占引625~64在y=0,f=0在x+y=4,z=x2(4-xX5-x-4+x)=x2(4-x)=4x2-x3—=8x-
6、3x2=0得：x=—,即x=—,y=—为驻点dx333(84)256I—亠625八256(33丿276427得最大值z=—,最小值z=064在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外，述有其他的附加条件，这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。例3、求原点到曲线(p(x,y)=0的最大距离此题即在条件(p(x,y)=0下求z=Jx?+y2的最小值问题2°条件极值、拉格朗日乘数法在实际问题中可根据题意來确定最值而不需判别求在条件＜p(x,y)=0下，z=f(x,y)的极值令F=f(x,y)+九(p(x
7、,y)称f(x,y)为目标函数，九为拉格朗日常数F；=0F；=0解得的(x,y)为可能的极值点K=0x+y-4z-1例1、求曲lfll'4z=3x2-2xy+3y2到平面x+y-4z=l的最短距离解法一、曲面上任一点(x,y,z)到平面的距离d=设F=—(x+y-4z-l)2+X(3x2-2xy+3y2-4z)Fx=x+y-4z-l+九(6x-2y)=0F=x+y—4z—1+九(6y-2x)=0Fz=-zF严3x=3x2-2xy+3y2-4z=0Fz=-4(x+y-4z-1)一4入=0得：・・・驻点唯一解法二、曲面在任一点的切平面法矢量n={6x-2
8、y,6y-2x-4}平面x+y・4z=l的法矢量fl】={1,1,-4}当n/Zn,时，即竺旦=乞二空=二111-4I在点处切平面平行已知平面4416•-点（"77）至"平面距离最短，dmin=44168例2、在曲fflz=2-x2-y2位于第一卦限部分上求一点，使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。・・・曲面位于第一卦限部分上任一点（x,y,z）处的平面方程为:2xX+2yY+Z=4—z即二+仁+厶=1,・・・四面体体积v=4—z4—z4-z24xy~2y~故令F=31n（4-z）-lnx-lny+X（x2+y2+z-2）F=f2Xx=
9、0Xf7=—-+九=0z4-zF入=x2+y2+z-2=0得:・・・驻点唯一¥，¥，“为所求点。例3、在第一象限内，过椭圆曲线3x2+2xy+3y2=1±任一点作椭圆的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三和形而积的最小值。解：在第一彖限内曲线上任一点（x,y）处的切线方程为：Y-y^(X-x)x+3yY(x+3y)+X(3x+y)=y(x+3y)+x(3x+y)切线与两坐标轴的截距分别为“逬3x+yx+3ygxx+3y1x+3y13x+y若要使S最小，只要（x+3y）（3x+y）最大故设F=(x+3yX3x+y)+九(3x2+2xy+3y2-1)=6x+
10、1Oy+6九x+2入y=0由11、)^D,b表D的面积D3、儿何意义攸，小。七，小。，则口血,y)db表示以z=f(x,y)为顶,D以D为底的曲顶柱体体积。4、二重积分在直角坐标下的计算法JJf(x,y)da=Jjf(x,y)dxdyDD设z=f
12、(x,y)>0用X=X平面截立体得如图Vl＞所示的曲边梯形其面积s(x)=,y)iyj]f(x,y)do=f
