多元函数积分(3)

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1、第六章多元函数积分学一．重积分例1：将用两种积分次序表为二次积分。（1）：由曲线所围；（2）例2：交换二次积分的顺序。例3：计算二次积分例4：计算二次积分例5：计算二重积分，其中是由直线以及曲线所围成的平面区域。（答案：）例6：计算二重积分，其中是由直线和轴所围成的平面区域。（答案：）例7：设在上连续，且求（答案：）例8：设闭区域：为上的连续函数，且6求（答案：）例9：计算二重积分，其中由圆所围成的平面区域。（答案：）例10：设是平面上以为顶点的三角形区域，是在第一象限部分，则等于例11：计算其中。（答案：）例12：计算二

2、重积分，其中由所围成的平面区域，是上的连续函数。（答案：）例13：证明例14：设在上连续，证明例14：设为上的单调增加的连续函数，证明例15：求，其中由圆和围成的平面区域。（答案：）（2004年数学三）6例16：设二元函数计算二重积分，其中例17：计算三重积分，其中是由所围成。例18：计算三重积分，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围的立体。（答案：）例19：计算三重积分，其中是由及所围成的区域。（答案：）例20：计算三重积分，其中是以平面及锥面为边界的区域。（答案：）例21：计算三重积分，其中（答案：）例22：设

3、有一半径为的球体，是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正比（比例系数），求球体的重心位置。（答案：）例23：设函数连续且恒大于，其中，（1）讨论在区间内的单调性；（2）证明当时，6二．曲线积分例1：计算，由圆周，直线及轴在第一象限中所围图形的边界。（答案：）例2：计算，其中为曲线（答案：）例3：计算，其中为由点沿曲线到点，再沿直线到点的路径。（答案：）例4：计算下列曲线积分其中为连接点与点的线段之下方的任意路线，且该路线与线段所围图形面积为.（答案：）例5：计算，其中是以点为中心，为半径的圆周（

4、），方向为逆时针方向。（答案：）例6：计算曲线积分，其中为正方形边界的正向。（答案：）例7：计算，其中积分路径为过三点的圆。（答案：）例8：设函数在平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意恒有6求（答案：）例9：计算曲线积分，其中是沿由的曲线段。（答案：）例10：设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数。（1）证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；（2）求函数的表达式。（答案：）（2005年数学一）例11：计算曲线积分，其中是曲线，从轴正向往轴负向看的方向

5、是顺时针的。（答案：）三．曲面积分例1：计算，其中为平面被柱面所截下的部分。例2：设为椭球面的上半部分，点为在点处的切平面，为点到平面的距离，求（答案：）例3：设有一高度为（为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程6（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数），问高度为（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？（答案：小时）例4：计算曲面积分，其中是由曲面及两平面所围的立体表面的外侧。（答案：）例5：计算曲面积分其中是曲面的上侧。（答案：）例6：计算曲面积分，其中为下半球面的　上侧，为大于零

6、的常数。（答案：）例7：设向量，曲面为上半球面被锥面所截得部分（满足），且指向上。求A通过的流量。例8：设对于半空间内任意的光滑有向闭曲面，都有其中函数在内具有连续的一阶导数，且.求.（答案：）6