分段函数在微积分中的计算

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1、2013年12月石家庄理工职业学院学术研究Dec.2013第8卷第4期AcademicResearchofShijiazhuangInstituteofTechnologyVol.8No.4文章编号：JL01-0229（2013）04-0001-06分段函数在微积分中的计算任伟和袁李晓辉渊石家庄理工职业学院袁河北石家庄050228冤摘要院本文主要讲述了分段函数在微积分中的计算袁并通过具体的实例讨论了分段函数在极限与连续尧可导性与连续性尧不定积分尧定积分等方面的应用.解决了在讨论分段函数的连续性尧可导性尧不定积分及定积分时,为什么要在分段函数的分界点处进行讨论以及怎样讨论的问题遥关键词院分段

2、函数曰可导曰不定积分曰定积分中图分类号院G642.3文献标识码院A例1讨论函数1引言在与处的连续性.在微积分中袁涉及较多的函数除了初等函数外袁还有分段函数.大多数有关分段函数的问题袁解:渊1冤求的表达式院初学者都感觉不太好处理.因此袁本文通过具体淤当时袁的实例讨论了分段函数在连续性尧可导性以及积分中的计算遥2分段函数的连续性于当时袁如果函数在处出现下列三种情形之一院盂当时袁渊1冤在处无定义曰渊2冤在处虽有定义袁但是不存在曰渊3冤在有定义袁且存在袁但是.综上袁则称函数在处间断袁也称为函数的间断点.判断是否是函数的间渊2冤讨论在点处的连续性院断点袁一般地可以按上述的三种情形逐条进行验证.2.1

3、函数在某一点处的连续性亦不存在袁在点处不连续.渊3冤讨论在点处的连续性院收稿日期院2013-10-15责任编辑院杨国庆校对院李晓霞作者简介院任伟和渊1984-冤袁男袁汉族袁河北邢台因此袁在点处连续援人袁公共教学部袁教师袁主要从事高等数学教学研究遥PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn2石家庄理工职业学院学术研究2013年2.2函数在区间上的连续性处可导袁且.例2函数在区间(0袁2)内是否若分段函数在各开区间内可导袁就用初等函数求导的方法分别求出它在各开区间内的导数袁连续袁在区间[0袁2]上呢钥而在分段点处的可导性的讨论则要特别注意院分析院开

4、区间内连续是指内部每一点处均连淤若函数在处不连续袁则它在处不可导曰续袁闭区间上连续指的是内部点连续袁左端点处于若函数在处连续袁则它必须用导数的定义判右连续袁右端点处左连续援断函数在是否可导袁若可导袁则可进一步得到解院它在的导数.任取袁则4分段函数的连续性和可导性引理1在点处可导袁则在处连续.因此在区间(0袁2)内连续遥该引理说明了连续是可导的必要条件袁函数但在处无定义袁故在处在某点处不连续则必不可导.因此袁对分界点处不连续遥是否可导应先判断是否连续.从而在区间[0袁2]上不连续遥引理2设满足院渊1冤在处连续曰3分段函数可导性渊2冤在可导曰渊3冤存在袁用导数的定义求函数在一点处的导数时袁要则

5、在处可导袁且.注意以下两点院渊1冤求分段函数在分界点处的导数袁通常用例4设袁试确定n,使定义式比较简便.得渊1冤函数在处连续曰渊2冤函数在点处可导的充分必要条件渊2冤函数在处可导曰是左导数和右导数都存在且相等.渊3冤导函数在处连续.例3设解院渊1冤淤当n跃0,且时袁袁有界遥从而问为何值时袁在处可导.解院渊1冤欲使点处可导袁首先袁所以n跃0时袁函数在处应用在点处连续袁又袁连续.而,故当且仅当于当n=0时袁函数为如下形式院袁即时袁在点处连续.(2)对于分段函数在分界点处导数的求法袁先求出左右导数袁如果左右导数相同袁则分段函而不存在袁所以n=0数在分界点处导数值存在.时袁函数在n=0处不连续.盂

6、当n<0时袁-n>0袁则函数可以化为如下形式院所以袁当时袁在点由于-n>0袁故当时袁袁所PDF文件使用"pdfFactoryPro"试用版本创建www.fineprint.cn任伟和袁李晓辉院分段函数在微积分中的计算3以不存在袁因此n<0当时袁为有界函数袁故时袁函数在处不连续.袁也即综上可知袁只有当n>0时袁函数在处连续.袁故当n-2>0袁即n>2时袁渊2冤要想使得函数在处可导袁首先袁函数在处必须要连续.由渊1冤可知袁当导函数在处连续.时袁函数在处连续.下面袁我们用导数的定义来于当n-2=0时袁导函数在0点处的极限判断当n取何值时袁在处可导.为援当自变量设在处袁自变量的增量为袁相应的函数值

7、也有增量袁并且.时袁函数为无穷小量袁其函数值淤当n-1>0袁时袁.而无限接近于0援而当时袁无限增大袁由余为有界函数袁根据有界函数和无穷小量乘弦函数的图像易知袁当无限增大时袁对应的积为无穷小袁可知.所以袁函数值在区间[-1,1]上振荡袁不能接近当n-1>0袁即n>1时袁函数在处可导袁并且.于任何常数袁因此当自变量x无限接近于0时袁于当n-1=0时袁不存在袁函数也是不接近于任何常数袁故当n-1=0袁即n=1时袁函数在处不可导