分段函数在分段点处的导数的求法.pdf

《分段函数在分段点处的导数的求法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、科技信息高校理科研究分段函数在分段点处的导数的求法石河子大学师范学院数学系王快妮西藏民族学院教育学院丁小帅［摘要］分段函数在分段点处的可导性是高等数学学习的一个难点。利用导数的定义是最常见的一种判断分段函数在分段点处可导性的方法。本文总结了分段函数在分段点处求导的3种方法，并通过例题予以说明。［关键词］分段函数分段点导数高等数学研究的对象是函数，分段函数又是函数中的一个难点。一''''于是limf(x)=limf(x)=0，因此limf(x)=0且有f(x)=0。般教科书中只是在函数的定义之后给出了分段函数的一些简单介绍，x→0-x→

2、0+x→0并没有对分段函数进行严格的定义。对其特征、性质等都没有做出具体分析:解法一是正确的，解法二虽然得到了和解法一相同的结论，说明并且其后的有关知识对于分段函数应该如何处理，也没有明确指''但是在最后一步，由limf(x)=0，推出f(x)=0，学生是将分段连续函数f(x)出。正是由于上述原因，对分段函数及其有关性质、处理方法难以把握。x→0''分段函数是指在自变量变化的不同区间上，它有不同的表达式，而在分段点x0的导数f(x0)看作导函数f(x)在该点的极限值，这样是否成在整个自变量的变化区间上，它是一个函数。分段函数的分段点是

3、指函立呢？我们看下面这个例子。数自变量的某一取值，函数在该点与在其它部分有不同的表达式。分段21xsin,x≠0函数有多种形式，但对每一个分段点而言，最常见的分段函数可归结为例5设f(x)=—x，讨论f(x)在x=0处是否可导？以下两种形式：0,x=0g1(x),x>x0错误的解法：g(x),x≠x0f(x)=—a,x=x0，f(x)=—由limf'(x)=lim(2xsin1-cos1)不存在，故f(x)在x=0不可导。事实a,x=x0g2(x),x

4、，且f(x)=0。这是因为在x=0处，由导数定义f(0)=在高等数学教学中，分段函数求导是学生学习的一个难点。对于分f(x)-f(0)1'段函数的求导，关键在于分段点处导数的计算。一般高等数学教材在给lim=limxsin=0，故f(x)在x=0可导。显然用limf(x)=lim(2xsinx→0x-0x→0xx→0x→0出导数的定义后，都会给出可导的必要条件，“可导必连续”，这一必要11条件的另一种说法：不连续一定不可导。利用这一必要条件，往往极易-cos)不存在来说明在x=0不可导是错误的。xx判断出函数在分段点x0的可导性。''

5、1.若分段函数f(x)在分段点x0处不连续，则f(x)在分段点x0处必不因此，分段连续函数f(x)在分段点x0的导数f(x0)看作导函数f(x)在可导该点的极限值是有条件的。我们知道若函数f(x)在点x0处连续，则函数f(x)sinx,x>0在该点的极限值与函数值相等，即有limf(x)=f(x0)成立。所以，当已知f(x)x→x0例1设f(x)=—0,x=0，讨论f(x)在x=0处是否可导？''ex,x<0的导函数f(x)在点x0处连续时，将函数f(x)在点x0处的导数f(x0)看作导解：limf(x)=limsinx=0，limf

6、(x)=limex=1，由于limf(x)≠limf(x)，可得f(x)'x→0+x→0+x→0-x→0-x→0+x→0-函数f(x)在点x0处的极限值是成立的。在x=0处不连续，则f(x)在x=0处不可导。g1(x),x>x0以下讨论，我们总假定分段函数f(x)在分段点x0处是连续的。定理1设f(x)=—a,x=x0在分段点x0处连续，且在x0的空心邻域2.利用导数定义求分段函数在分段点处的导数g2(x),x

7、则f(x)在x0处可导，且f(x0)=A;''x→x0分段点处的左、右导数f-(x0)f+(x0)来获得。f(x)在x0处可导的充要条件是''''''（2）当lim+f(x)与lim-f(x)都存在但不相等时，则f(x0)不存在。左导数和右导数均存在且相等，即f(x0)=a圳f-(x0)=f+(x0)=a（a为常数）。x→x0x→x0sinx,x<0证明：（1）因为分段函数f(x)在分段点x0处连续，且在x0的空心邻例2设f(x)=—0,x=0，讨论f(x)在x=0处是否可导？域内可导，由拉格朗日中值定理有：ln(1+x),x>0f(

8、x0+Δx)-f(x0)'当Δx>0时，在开区间(x0,x0+Δx)内至少有一点ξ，使=f(ξ)。'f(x)-f(0)sinx-0Δx解：f-(0)=limx→0-x-0=limx→0-x-0=1，++f(x0+Δx)-