分段函数在分段点处求导方法初探

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1、分段函数在分段点处求导方法初探 摘要：本文利用微分中值定理对分段函数在分段点处的导数进行了讨论，并给出了一种求导方法。关键词：分段函数，分段点，导数，微分中值定理。一、问题的提出在《微积分》教材及很多高等数学参考书中，分段函数的导数一般按下面方法来求：（1）在各个部分区间内用导数公式与运算法则求导。（2）在分段点处按导数定义求导，即求分段点处的左、右导数。而分段点处可导的充分必要条件是左、右导数存在且相等。但是，我在教学过程中经常发现：一些学生在求分段函数在分段点处的导数时，不按导数定义去求左、右导数，而是利用导函数在分段点处的左、右极限得出左、右导数。例如：设

2、函数：     讨论在分段点处的可导性时，一些学生这样来求左、右导数：而这样做得结果与按导数定义求左、右导数所得结果相同，那么这样做对不对呢？下面我们来讨论这一问题。二、问题探讨定理：设分段函数其中，均为初等函数，在a点右邻域可导，在点左邻域可导，在处连续，若极限 ，存在，则有：,证：因为在处连续，则当时，因在点右邻域可导，故在内可导，又为初等函数，故在上连续，从而在上满足微分中值定理的条件，由微分中值定理有：　　　　　故由导数定义有：又因为，则当时，有从而可得：当时，虽然在处无定义，但因为在处连续，则可以补充定义，令：又为初等函数，故在上连续，又在点的左邻域可

3、导，故在上可导，从而由微分中值定理可得：     完全类似地可推得：          综上所述，我们有：                          关于该定理，我们进一步说明以下几点：1、在满足该定理条件之下，可利用该定理结论求出与，然后比较与是否相等，从而得出在处是否可导的结论。这样，就避免了用导数定义求左、右导数的麻烦。2、该定理要求在处连续。事实上，若在处不连续，由连续与可导关系知，不连续一定不可导，由此可得出在处不可导的结论。因此应用该定理结论时，应判断在处是否连续。否则，即使有，也不一定在处可导。例：    虽然有，但在处不可导，因为在处不连

4、续。3、若与极限至少有一个不存在时，在处可能可导，也可能不可导，需用导数定义判断。例如函数：         讨论在处的可导性时，由连续性定义可知在处连续，而极限不存在，并不意味着不存在，此时用导数定义求：则在处可导。4、该定理给出了分段函数只有一个分段点的情况，对于分段函数有多个分段点的情况，可完全类似得出相应的结论。三、应用举例例1、讨论函数 在处的可导性。解：         故 从而在处连续由定理可知： 从而有：所以在处可导。例2：讨论函数    在处的可导性。解：由于        则，故在处连续，由定理可知：故在处可导。例３．函数　，确定的值，使在处

5、可导。解：因为在处可导，则在处连续，故有：         从而有：，即                 　　　　　　　　　　　(1)又在处可导，则有从而有                                  　　　　　　　(2)由（1）、（2）可得： 参考文献：［１］李静芬，刘蒲凰　经济数学基础　西南财经大学出版社,１９９４