巧解分段函数在分段点处的导数.pdf

《巧解分段函数在分段点处的导数.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第30卷第5期（上）赤峰学院学报（自然科学版）Vol.30No.52014年5月JournalofChifengUniversity（NaturalScienceEdition）May2014巧解分段函数在分段点处的导数杜美华，孙卫卫，高发玲（青岛理工大学琴岛学院，山东青岛266106）摘要：分段函数在分断点处的导数是学生学习的难点，一般的方法是利用导数定义式来求左右导数，看是否相等来确定是否可导，但是这种方法繁琐并且容易出错，学生擅长的方法是利用求导法则来求导数，本文利用中值定理，将分段函数在分断点处左右导数转化为分断点处两

2、侧函数导数的极限，这种方法种简单而又快捷，能够解决部分分段函数在分段点处的可导性问题.关键词：分段函数；分段点；导数中图分类号：O13文献标识码：A文章编号：1673-260X（2014）05-0006-02在高等数学导数的学习中，分段函数在分段点处的可--证明（1）f(x0)=limg(x)，若limg(x)≠a，则f(x0)≠f(x0)，显x→x-x→x-00导性是同学们学习的难点.本文结合着同学们在学习中所出然f(x)在x0处不连续，从而f(x)在x0处不可导.现的问题及导数的定义，针对一些分段函数总结出一种简对于lim

3、h(x)≠a，同理可证.x→x+0单而又准确的求导方法.（2）若limg(x)=limh(x)=a，即f(x-)=f(x+)=f(x)，则f(x)在x00000x→x-x→x+假设g(x)在x的左侧邻域(x,-啄,x)内可导，h(x)在x的000000处连续，下面证明当limg'(x)=limh;(x)=A时f(x0)在x0处可导.!g(x)，x

4、＊），讨0000#####h(x)，x>xf(x)-f(x0)$0定理的条件，有=f'(孜)，x-x0论在x=x0处的可导性时，同学们很少利用导数的定义求解由于x<孜

5、而可得法，经过探讨，有如下结论：f-'(x0)=limg'(孜)=limg'(x)=A孜→x-x→x-001定理结论同理可有定理如果分段函数（＊）满足假设条件：g(x)在x0的左f+'(x0)=limh'(x)=Ax→x-侧邻域(x,-啄,x)内可导，h(x)在x的右侧邻域(x,x,-啄)内可000000即有f-'(x0)=f+'(x0)=A，从而f(x)在x0处可导，并且f'(x0)=A.导，则有2定理说明（1）若limg(x)≠a或者limh(x)≠a，则f(x)在x0处不可导；x→x-x→x+00（1）如果f(x)在x0

6、处连续，我们可分别补充g(x)与h(x)在（2）若limg(x)=limh(x)=a，并且limg'(x)=limh'(x)=A，（其x→x-x→x+x→x-x→x+0000x处的定义g(x)=a与h(x)=a，特别地，如果g'(x)与h'(x)在x0000中A为常数或者是∞），则f'(x0)存在且f'(x0)=A（或者为∞）.处连续，则有-6-f-'(x0)=limg'(x)=g-'(x0)当x>1时，(ax+b)'=a，则f+'(1)=lima=ax→x-x→x+01f+'(x0)=limh'(x)=h+'(x0)因为f(

7、x)在x=1处可导，则a=2②x→x+0故由①和②可知a=2，b=-1.!x，x<0####g'(x)或者limh'(x)不存在，不说明f(x)在x=x#（2）若lim0处例1讨论分段函数f(x)="0，x=0在x=0处的可导x→x-x→x+#00####sinx+1，x>0可导，此时本定理的求解方法失效，失效原因和洛必达法则$性.失效的原因相同，这是因为定理证明中+)=lim(sinx+1)=1≠f(0)，从而f(x)在x=0处不连f(x)-f(x解f(00)x→x0+f-'(x0)=lim=limg'(孜)(0<孜

8、→x-x-x0x→x-00续，也就不可导.这里limg'(孜)与limg'(x)存在这样的关系，limg'(x)存在则x→x-x→x-x→x-000注：有的同学就会这样解：x'=1，(sinx+1)'=cosx，两个导函limg'(孜)必存在，但是limg'(孜)存在未必li