重积分-多元函数极值及其应用

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1、第七讲多元函数的极值及其应用内容提要1.多元函数的极大值与极小值；2.最值问题；3.条件极值。教学要求1.理解多元函数极值和条件极值的概念；2.掌握多元函数极值存在的必要条件；3.了解二元函数极值存在的充分条件；4.会用拉格朗日乘数法求条件极值；5.会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。一、多元函数的极值和最大值、最小值每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值.1、二元函数极值的定义与一元函数类似，多元函数的最值与极值有关，下面以二元函数为例讨论多元函数的极值问题.例如2、二元函数取得极值的条件证驻点极值点对可偏导的函数注意：凡能使一阶偏导数同

2、时为零的点，均称为函数的驻点.可能的极值点偏导不存在的点驻点求出实数解，即驻点。第一步解方程组解例2解解方程组再计算二阶偏导数无法用定理判断。解求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.二、二元函数的最值解三、条件极值拉格朗日乘数法无条件极值：在研究极值时，对自变量除了限制在定义域内外，并无其它条件.条件极值：对自变量有附加条件的极值．例这就是所谓的条件极值问题。以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数在约束条件

3、下的极值。解决的办法：Lagrange乘数法步骤：解解则作函数可得即例8解显然要求函数该结论非常重要！点到平面的距离公式例9解分析:得或作切平面平行于平面，设切点为(x0,y0,z0)解法一：设P(x，y，z)是交线上的一点，该点到xOy平面的距离为

4、z

5、。由于点P在柱面x2+y2=1上，所以有

6、x

7、≤1，

8、y

9、≤1于是于是问题化为求函数d(x，y，z)=z在条件引入辅助函数解方程组由（3）得μ=5，代入（1）、（2）得将其代入（5）可得所以交线上距离xOy平面距离最近的点坐标为所以交线上距离xOy平面距离最远的点坐标为解法二：求交线上点与xoy平面的距离可转化为引入辅助

10、函数解方程组进而解得