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《多元函数的极值及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、多元函数的极值与最值及其应用在管理科学、经济学、以及许多工程与科技问题中，常常需要研究函数的最大值与最小值问题，它们统称最值问题.需要求最值的函数为目标函数，该函数的自变量为决策变量，相应的问题为优化问题.一、一般方法求极值和最值实际问题中求最大值和最小值1.制作一定体积的物体，求用料最少。例用铁皮制作有盖长方体水箱，且其长、宽、高分别为.若体积时,怎样用料最省?解:用料,其中.令同时.据实际情况可知,长、宽、高均为时,用料最省.2.施工时对于建筑材料使用的最小值例一水渠的横断面是面积为的等腰梯形，问应该如何选取岸边的倾斜角与高度，可以
2、使得湿周最小？（湿周为横断面上与水接触的各边总长.一般地：湿周越小，所需建材与修筑工作量越少）解设梯形下底的长为，则横断面面积湿周9由，故当时，函数达到最小值.3.生产利润的最大值例某工厂生产两种型号的产品，型产品的售价为1000元/件，型产品的售价为900元/件，生产型产品件和型产品件的总成本为元，求两种产品各生产多少件时，利润最大？解：设为生产型产品件和型产品件时的总利润，则＝，由，又有故函数在点取得最大值，且（元）.4.求一定区域内函数的最值例求函数在上的最大值与最小值.解在区域内，由于所以在区域的内部函数无极值点；在边界上：9在
3、上，，所以有；.在上，，所以有；.在上，，所以有；.综上所述：函数在区域上的最大值为；最小值为.例求函数在上的最大值与最小值.解在区域内，由为区域内的惟一驻点；在边界上：＝0；综上所述：函数的最大值为；最小值为.例函数在上的最大值与最小值.解：在区域内：由，但由于，所以在内无极值点.在边界上：9由为极值点，由知边界上的最大值为，最小值为.综上所述：函数在上的最大值为；最小值为.二、条件极值拉格朗日乘数法1.条件极值：对自变量有附加条件时的极值．2.在点取得条件极值的必要条件:其中为某一常数.3.拉格朗日乘数法(1)构造辅助函数（拉各朗日
4、函数），其中称为拉各朗日乘子；(2)解方程组()(3)由上方程解出，其中就是可能的极值点的坐标.(4)根据实际情况确定极值.例题1.曲线上的点到直线的最小距离例.求抛物线上的点,使它与直线相距最近.解 设抛物线上的点到直线的距离为问题可化为求函数在条件下的最小值点.令拉格朗日函数为9解方程组得,.于是是抛物线上距直线最近的点.2.表面积一定，求最大体积例求表面积为,而体积为最大的长方体的体积.解:设分别为长方体三棱长,本题即要求在条件下函数的最大值,其中.令,解方程组（注意：解此类方程组时用比商的方法消去，并找出间的关系）由由将得：,此
5、时.由题意知,最大值存在且在区域内取得,故的最大值为.93.函数在约束条件下的最值问题例函数在在约束条件和下的最大和最小值.解：设得方程组即解得或得，.4.最优广告策略问题例公司通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入(万元)与电台广告费用(万元)及报纸广告(万元)之间的关系有如下经验公式:(1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;(2)若提供的广告费用是万元,求相应的最优广告策略.解 (1)利润函数9,令得由问题的实际意义可知,当时,公司获得的总利润最大.(1)将代入中得,令得,从而,故最优广告策略为将万
6、元全部用于报纸的广告费.另解：公司利润为在条件下,求的最大值.令,解方程组得:,.5..实际生产问题中的总利润最大问题例某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为和,销售量分别为和,需求函数分别为,,总成本函数为,问厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？解：依题意,总收益为,总利润为,令,;得驻点,而,,9,,所以厂家确定两个市场的售价分别为与时,获得的总利润最大.例设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是,,其中和分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨),和分别表示该产品在两
7、个市场的销售量(即需求量,单位:吨),并且该企业生产这种产品的总成本函数是,其中表示该产品在两个市场的销售总量,即.（2）如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润;（2）如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格,使该企业的总利润最大化;并比较两种价格策略下的总利润大小.解(1)总利润函数.令,分别得唯一驻点(吨),(吨),对应的价格分别为(万元/吨),(万元/吨).又实际问题一定存在最大值,故最大值必在唯一驻点处取得,即最大利润为(万元).(2)如果实行价格
8、无差别策略,即,则有约束条件.作拉格朗日函数令解得唯一驻点(吨),(吨),对应的统一价格(万元/吨).又实际问题一定存在最大值,故最大值必在唯一驻点处达到,即最大利润为9(万元).由上述结果可知,企业实行差
