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1、7-7多元函数的极值及其应用1复习求出在定义区域内部的实数解,1.求函数的极值的一般步骤：第一步:解方程组第二步:求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步:定出的符号，再判断是否为极值.得驻点.对于每一个驻点22.求函数的最值的步骤：（1）找最值可疑点D内的驻点及不可导点边界上的可能极值点（2）比较以上各点处的函数值，最大（小）者即为所求的最大（小）值.求二元函数在闭区域D上的最值,值就是所求的最值.又知函数在D内可微,但如果根据问题的实际意义,知道函数在D内存在最值,且只有唯一驻点,则该点处的函数往往
2、比较复杂.3第七章第七节多元函数的极值及其应用三、条件极值一、多元函数的极值二、多元函数的最值4三、条件极值解设水箱的长为x米，宽为y米，高为z米,则此水箱所用材料的面积为：其中：引例问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能用料最省？要用铁板做一个体积为2立方米的有盖长方形水箱，即其高z=米.此水箱所用材料的面积为：约束条件目标函数这类对自变量的取值附加约束条件的极值问题5三、条件极值解引例问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能用料最省？要用铁板做一个体积为2立方米的有盖长方形水箱，此水箱所用材料的面积为
3、：令解得：由题意知：最小值一定存在，而且在D：内只有唯一的驻点因此，可断定当时，A最小,用料最省.6三、条件极值在条件下，求函数z=f(x,y)的极值.极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域内限制，对自变量除定义域内限制外,还有其它条件限制条件极值的求法:方法1代入法.在条件下，求函数z=f(x,y)的极值.求一元函数的无条件极值问题转化从条件中解出7方法2拉格朗日乘数法.在条件下，求函数z=f(x,y)的极值.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记故故
4、有极值点必满足引入辅助函数8三、条件极值以上方法可推广到三元以上的情况.拉格朗日乘数法要找函数z=f(x,y)在条件下的可能的极值点，可以先构造函数：其中为某一常数,可由解出其中x,y就是可能的极值点.即以上解正是的驻点.9推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设例如,求函数下的极值.在条件解方程组可得到条件极值的可疑点.10解设水箱的长为x米，宽为y米，高为z米,则此水箱所用材料的面积为：令其中：解得驻点由于实际问题确实存在最小值,一个,故即为所求.且可能的极值点只有例1要用铁
5、板做一个体积为2立方米的有盖长方形水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能用料最省？11例212例3求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值与最小值.解构造辅助函数为：求解方程组：得驻点为：代入u=xy+2yz，比较有：最大值为：最小值为：13xyz例414解:解方程组在平面上求一点，使它与坐标设M(x,y,z)为平面上任一点，该点原点的距离为例5原点的距离最短.问题等价于求d2在条件3x+4y-z=26下的最小值.构造辅助函数得唯一一组解故(3,4,-1)与原点距离最短1
6、5回顾：一元函数微分形式的不变性设函数有导数(1)若u是自变量时，(2)若u是中间变量时，即另一变量t的可微函数则结论：无论u是自变量还是中间变量，微分形式总是的函数二、全微分形式不变性16二、全微分形式不变性设函数具有连续偏导数，则全微分当时，有全微分形式不变形的实质：无论z是自变量u、v的函数或是中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的.17设18例6解设其中f具有一阶连续偏导数，求du及19例7：设z=f(x+y+z,xyz),求∂z/∂x解：z=f(u,v)两边同时求全微分,得移项整理可
7、得：故令u=x+y+z,v=xyz,把z看作x,y的函数,方程20例8设f具有二阶偏导数，求解令则引入记号wuvxyz21而于是22内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法23设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值
8、问题在条件求驻点.24作业：P319:3,8预习：从320到327页25提示:答案:求函数在闭域开区域内的驻点.边界点.3.比较以上各点处的函数值，最大（小）者即为所求的最大（小）值.例126例2解27
