参数未知的分数阶超混沌

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1、第５９卷第４期２０１０年４月物理学报Ｖｏｌ．５９，Ｎｏ．４，Ａｐｒｉｌ，２０１０１０００３２９０／２０１０／５９（０４）／２３０５０５ＡＣＴＡＰＨＹＳＩＣＡＳＩＮＩＣＡ２０１０Ｃｈｉｎ．Ｐｈｙｓ．Ｓｏｃ．参数未知的分数阶超混沌Ｌｏｒｅｎｚ系统的自适应追踪控制与同步赵灵冬胡建兵刘旭辉（中北大学电子测试技术国家重点实验室，仪器科学与动态测试教育部重点实验室，太原０３００５１）（２００９年７月２１日收到；２００９年７月２８日收到修改稿）基于分数阶系统稳定性理论，设计了控制器和未知参数的辨识规则，实现了分数阶超混沌Ｌｏｒｅｎｚ系统同给定信号的追踪控制与同步．数值仿真证实了所设计的控

2、制器及未知参数辨识规则的有效性．关键词：分数阶，超混沌，追踪控制与同步，自适应ＰＡＣＣ：０５４５［１２］Ｘｕ等研究了异结构的分数阶混沌系统同步，但１引言远不如整数阶混沌同步发展得充分．分数阶混沌同步现在主要是基于时域的分数阶线性系统稳定性尽管分数阶微积分理论有３００多年的历史，但理论和频域的Ｌａｐｌａｃｅ终值定理．基于分数阶线性因长时间没有实际的应用背景而发展缓慢［１］．自系统稳定性理论，通常是设计控制器，使误差系统１９８３年Ｍａｎｄｅｌｂｏｒｔ指出自然界及许多科学技术领的系数矩阵为特定的定常矩阵．这一方面控制代价域中存在大量的分数维事实以来［２］，作为分形几何较大，另一方面牺牲

3、了非线性项．而基于Ｌａｐｌａｃｅ终和分数维动力学基础的分数阶微积分取得了极大值定理实现分数阶混沌系统同步，尽管能取得一定的进展．整数阶微积分仅仅决定于函数的局部特的效果，但是这种方法缺乏灵活性，很多同步方法征，而分数阶微积分以加权的形式考虑了函数的整和同步类型难以实现．体信息，在很多方面应用分数阶数学模型可以更准针对这些问题，胡建兵等［３，１４］提出了几个分数［３］阶非线性系统的稳定性理论．本文基于这些理论，确地描述实际系统的动态响应．研究表明：分数阶系统与整数阶系统具有自相似现象．一些整数阶研究了如何设计控制器和参数辨识规则，使参数未［４—６］知的分数阶系统同任意给定的信号实现追

4、踪控制混沌系统的分数阶形式也是混沌的．混沌同步由于在保密通信等领域的潜在应用与同步．而得到了广泛的研究并取得了许多成果．同步方法主要有自适应同步、观测器同步、滑模同步、耦合同２追踪控制分数阶超混沌Ｌｏｒｅｎｚ系统步、反馈同步等．同步类型主要有完全同步、投影同［王兴元等［１３］通过对Ｌｏｒｅｎｚ混沌系统添加一个步、反同步、追踪同步等７—９］．这些研究成果更多的非线性项提出了一个四维超混沌是针对整数阶混沌系统领域实现的Ｌｏｒｅｎｚ系统，其方．分数阶系统更程可表示为：具有普遍性且分数阶混沌系统具有更大的密钥空·ｘ＝ａ（ｘ－ｘ）＋ｘ４，间，因而分数阶混沌系统的同步更具研究价值１２１．然·

5、ｘ＝ｃｘ－ｘｘ－ｘ，而由于分数阶微分理论的复杂性和起步较晚，分数２１１３２（１）阶混沌同步尽管也取得了一些成果，如Ｙｕ等［１０］实·ｘ３＝ｘ１ｘ２－ｂｘ３，现了分数阶Ｌｏｒｅｎｚ混沌系统的同步，Ｓｈｅｕ等［１１］研·ｘ＝－ｘｘ＋ｒｘ，究了分数阶４２３４ＮｅｗｔｏｎＬｅｉｐｎｉｋ混沌系统的脉冲同步，其中ａ＝１０，ｂ＝８／３，ｃ＝２８，ｒ＝８．该系统的分数通讯联系人．Ｅｍａｉｌ：ｈｊｂ２００８＠１６３．ｃｏｍ２３０６物理学报５９卷阶形式：ｅ＝ｘ－ｙ，２２２αｄｅ＝ｘ－ｙ，（６）ｘ＝ａ（ｘ－ｘ）＋ｘ４，３３３α１２１ｄｔｅ＝ｘ－ｙ．４４４αｄｘ＝ｃｘ－ｘｘ－ｘ，定理如果设计的控制器

6、及未知参数辨识规α２１１３２ｄｔ（则选择为：２）αｄααｘ３＝ｘ１ｘ２－ｂｘ３，ｕ＝（－ａ～＋１）ｘ－ｙ＋ａ～ｙ＋ｙ－ｄｙ，ｄｔ１１１２４α１ｄｔαｄααｘ４＝－ｘ２ｘ３＋ｒｘ４，ｕ＝（ｃ～＋ａ～）ｘ～ｙ－ｙ－ｘｙ－ｄｙｄｔ２１－ａ１２１３α２，ｄｔ（７）本文针对分数阶系统（２）的参数ａ，ｂ，ｃ，ｒ未知时，如α～ｄｕ＝（－ｂ＋１）ｘ＋ｘｙ－ｙ－ｙ，何设计控制器和参数辨识规则使分数阶系统（２）追３３１２３α３ｄｔ踪同步任意给定的参考信号ｙ（ｔ）＝［ｙ１，ｙ２，ｙ３，α～ｄＴｕ＝ｘ－ｘｘ＋（ｒ＋１）ｘ－ｙ－ｙ－ｙ．ｙ］，即ｌｉｍ‖ｘ－ｙ‖＝０．４１２３４１４α４４ｉｉｄｔｔ→∞ｑ参数自

7、适应规则：［１４］ｄＸ引理１对于分数阶系统＝ｆ（Ｘ）ｑαｄｔｄ～ａ＝－（ｘ－ｘ）ｅ１，Ｔα１２（Ｘ＝［ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ］），当分数阶阶次ｑ≤１ｄｔｄｑＸｄα～时，如果存在正定矩阵Ｐ使函数Ｊ＝ＸＰｑ≤０恒αｂ＝－ｘ３ｅ３，ｄｔｄｔ（８）成立，则系统变量ＴαＸ＝［ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ］渐近稳定．ｄ～，ｃ＝ｘｅα１２以～～～～ｄｔａ，ｂ，ｃ，ｒ作为分数阶系统（２）的未知参数αｄ～ａ，ｂ，ｃ，ｒ的估计，参数估计误差：αｒ＝ｘ４ｅ４，ｄｔ～ｅ＝ａ－ａ，ａ则分数阶受控系统（５