高考专题---解析几何解答题高考数学备考中等生百日捷进---精校解析Word版

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1、中等生百日捷进系列之专题专题五解析几何解答题直线与圆锥曲线的位置关系【背一背重点知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即消去y后得ax2＋bx＋c＝0．通过这个方程解的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系，具体如下表所示．方程ax2＋bx＋c＝0的解．交点个数l与C的关系a＝0b=0无解（含双曲线的渐近线）无公共点b≠0有一解（含与双曲线的渐近线的平行线或抛物线的对称轴平行的直线）一个交点相交a≠0Δ

2、＞0两个不等的解两个交点相交Δ＝0两个不等的解一个交点相切Δ＜0无实数解无公共点相离2．圆锥曲线的弦长（I）圆锥曲线的弦长的定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．（II）圆锥曲线的弦长的计算：设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

3、AB

4、＝＝

5、x1－x2

6、＝·

7、y1－y2

8、．（抛物线的焦点弦长

9、AB

10、＝x1＋x2＋p＝，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．【讲一讲提高技能】1．利用直线与圆锥曲线的交点个数求参数利用直线与圆锥

11、曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元转化成一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，即方程为一次方程；若不为0，则方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．例1．【2018湖北七市（州）教研协作体3月高三联考】已知椭圆：的左顶点为，上顶点为，直线与直线垂直，垂足为点，且点是线段的中点．（I）求椭圆的方程；（II）如图，若直线：与椭圆交于，两点，点在椭圆上，且四边形为平行四边形，求证：四边形的面积为定值．【答案】（I）；（II）【解析】试题分析：（I）根据题意可得，故斜率为，由直线与直线垂直，可得，因为点是线段的中点，∴点的坐标是，代入直线得，连立方程即可得，；（II

12、）∵四边形为平行四边形，∴，设，，，∴，得，将点坐标代入椭圆方程得，点到直线的距离为，利用弦长公式得EF，则平行四边形的面积为．（II）设，，，将代入消去并整理得，则，，，∵四边形为平行四边形，∴，得，将点坐标代入椭圆方程得，点到直线的距离为，，∴平行四边形的面积为故平行四边形的面积为定值．2．利用弦长公式求解直线与圆锥曲线的弦长问题当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则

13、AB

14、＝·

15、x1－x2

16、＝

17、y1－y2

18、，而

19、x1－x2

20、＝，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进

21、行整体代入求解．例2．【2018河南安阳市高三一模】如下图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分即为，区域中动点到的距离之积为1．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求证：的面积恒为定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）由点到直线距离公式直接把已知表示出来，并化简可得方程；（Ⅱ）直线与轨迹有且只有一个公共点，即直线与轨迹相切，因此可求出当与垂直（即斜率不存在）时，面积，当斜率存在时，可设其方程为，与双曲线方程联立方程组，由可得，再设出，由直线相交可求得（用表示），计算面积可得结论．试题解析：（Ⅰ

22、）由题意得，．因为点在区域内，所以与同号，得，即点的轨迹的方程为．（Ⅱ）设直线与轴相交于点，当直线的斜率不存在时，，，得．当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则，把直线的方程与联立得，由直线与轨迹有且只有一个公共点，知，得，得或．设，，由得，同理，得．所以．综上，的面积恒为定值2．3．利用点差法求解圆锥曲线问题点差法是一种常见的设而不求的方法，在解答平面解析几何的某些问题时，合理的运用点差法，可以有效减少解题的运算量，达到优化解题过程的目的．点差法的基本过程为：设点、代入、作差、整理代换．例3．【2018四川凉山州高三毕业班第一次诊断性检测】若，是椭圆上位于轴上方两点，且．（I）若

23、，求线段的垂直平分线的方程；（II）求直线在轴上截距的最小值．【答案】（I）；（II）．【解析】试题分析：（I）设AB的中点为M，则M（1，），由将AB坐标均带入椭圆方程并做差得，即可得kAB=﹣，线段AB的垂直平分线的斜率即可；（II）联立直线和椭圆得到二次方程，由韦达定理得到x9k2+9km+1=0；由AB是椭圆E上位于x轴上方两点，∴k＜0，m＞0进而得．解析：（I）设AB中点为，则，①-②得．（II）显然AB的斜率存在．设直线AB：联立，，且，，，