高考专题---计数原理（理）（捷进提升篇）高考数学备考中等生百日捷进---精校解析Word版

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1、第十一章计数原理（理）排列与组合的综合问题【背一背重点知识】1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．2．排列与组合的定义(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成A＝．(2)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤

2、n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是C＝或写成C＝．3．组合数的性质①C＝C；②C＝C＋C．【讲一讲提高技能】1．必备技能：（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．（3）求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：①以元素

3、为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．②以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2．典型例题：例1．【2018广东六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）高三下学期第三次联考】从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有()A．42种B．36种C．72种D．46种【答案】A【名师点睛】本题主要考查分

4、步计数原理的应用，属于难题．有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．例2．【2018四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动理科数学试题】中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种．例如：163可表示为“”

5、27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（）A．48B．60C．96D．120【答案】C【解析】设8根算筹的组合为，不考虑先后顺序，则可能的组合为：，对于，组合出的可能的算筹为：共4种，可以组成的三位数的个数为：种，同理可以组成的三位数的个数为：种，对于，组合出的可能的算筹为：共6种，可以组成的三位数的个数为：种，同理可以组成的三位数的个数为：种，利用加法原理可得：8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为．故选C．【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类

6、；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．【练一练提升能力】1．【2018广东珠海高三3月质量检测】将个不同的球放入个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（）种A．B．C．D．【答案】C【解析】第一步：先从4个盒子中选一个盒子准备装两个球，有4种选法；第二步：从5个球里选

7、出两个球放在刚才的盒子里，有种选法；第三步：把剩下的3个球全排列，有种排法，由乘法分步原理得不同方法共有种，故选C．2．【2018湖北孝感一中、应城一中等五校高三上学期期末联考】若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”．例如：232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第24个“单重数”是（）A．166B．171C．181D．188【答案】C【解析】由题意，不超过，两个数字一样为，有个，两个数字一样为，，有个，两个数字一样为，有一个，同理两个数字一样为，各一个，综

8、上所述，不超过的“单重数”个数是，其中最大的数是，较小的依次为，所以从小到大排列第个“单重数”是，故选C．利用二项式定理求指定项【背一背重点知识】1．二项式定理：(a＋b)n＝Canb0＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Ca0bn(r＝0，