高考专题---平面向量（捷进提升篇）-高考数学备考中等生百日捷进---精校解析Word版

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1、中等生百日捷进系列之专题第五章平面向量平面向量的线性运算和坐标运算【背一背重点知识】1．向量加法：利用“平行四边形法则”或“三角形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量．2．向量的减法：用“三角形法则”，要注意：减向量与被减向量的起点相同．3．向量平移具有坐标不变性，相等向量的坐标是一样的．4．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．5．两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合．6．平行向量无“传递性”（因为有)．7．三点A、B、C共线Û 共线．8．当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：（1

2、）零向量的方向及与其他向量的关系；（2）单位向量的长度及方向．9．已知，判断两向量平行和垂直的充要条件容易混淆．应为Û，Û，使用时要注意区分清楚．【讲一讲提高技能】1．必备技能：（1）向量的基本概念是向量的基础，学习时应注意不要把向量与实数盲目类比；向量的运算包括两种形式：（1）向量式；（2）坐标式；在学习时要学会灵活选用，解题时应善于将向量用一组基底（不共线向量）来表示，要会应用向量共线、垂直的充要条件来解题．（2）平面向量基本定理是向量坐标形式表示的理论基础，平面向量的坐标运算是高考的重点，通常考查两个向量平行、垂直的位置关系；另外平面向量的坐标运算，在解析几何、三角函数中出现较多．（

3、3）在中，当为中点时，应作为公式记住．（4）在一般向量的线性运算中，只要把其中的一个向量当作一个字母看待即可．其运算方法类似于合并同类项，在计算时可进行类比．2．典型例题：例1．【2018河北石家庄高三毕业班教学质量检测】在中，点在边上，且，设，，则（）A．B．C．D．【答案】B例2．【2018四川绵阳市高三一诊】如图，矩形中，，，是对角线上一点，，过点的直线分别交的延长线，，于．若，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，设，则，又，所以，因此，当且仅当时取等号，选C．考点：向量表示，基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其

4、满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．【练一练提升能力】1．【2018江西南康中学、于都中学上学期第四次联考】设向量，若向量与平行，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，所以，故选B．2．【2018吉林长春十一中、东北师范大学附中、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联合模拟】已知向量，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】C3．【2018安徽淮南高三一模】已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是()A．B．C．D．【答案】D【解析】如图三点共线，∵是的重心，解得，

5、结合图象可知令故故，当且仅当等号成立，故选D平面向量的数量积【背一背重点知识】1．数量积是一个实数，不再是一个向量．2．向量数量积与实数相关概念的区别：（1）表示方法的区别:数量积的记号是，不能写成，也不能写成．（2）相关概念及运算的区别：①若为实数，且，则有或，但却不能得出或．③若，则(结合律)成立，但对于向量，向量的数量积是不满足结合律．④若，则，但对于向量，却有，等号当且仅当时成立．3．设两个非零向量，，其夹角为，则：①；②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；4．数量积

6、的运算要注意：（1）时，，但时不能得得到或，因为时，也有．（2）若，则；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量满足()，则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量．（3）平面向量的数量积有定义式和坐标运算，应注意灵活选择计算方法．【讲一讲提高技能】1．必备技能：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即．（3）已知非零向量则有，是非常重要的性质，它是解决平面几何中有关垂直问题的有力工

7、具，应熟练掌握．2．典型例题：例1．【2018江西重点中学协作体高三下学期第一次联考】设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∴．∴．设向量和向量的夹角为，则向量在向量方向上的投影为．选D．例2．【2018四川绵阳南山中学高三二诊】已知是边长为2的正三角形，点为平面内一点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【名师点睛】本题在求解过程中采用了建立平面直角坐标