高考专题---立体几何解答题（理）高考数学备考中等生百日捷进---精校解析Word版

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1、中等生百日捷进系列之专题专题四立体几何解答题（理）空间向量运算与利用向量证明平行、垂直的位置关系【背一背重点知识】1．用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两个不共线向量线性表示．2．面面平行：①证明两个平面的法向量平行；②转化为线面平行，线线平行．3．用向量证明线面垂直的方法有：①证明直线的方向向量与平行的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理，转化为线线垂直．4．面面垂直的证明发法：①两个平面的法向量垂直；②转化为线面垂直，线线垂直．【讲一讲提高技能】必

2、备技能：1．用向量证明空间中的平行关系①设直线和的方向向量分别为和，则∥(或与重合)⇔∥．②设直线的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量和，则∥或⊂⇔存在两个实数，使．③设直线的方向向量为，平面的法向量为，则l∥α或l⊂α⇔⊥．④设平面和的法向量分别为，，则α∥β⇔∥．2．用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为和，则l1⊥l2⇔⊥⇔．＝0．②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则⊥⇔∥③设平面和的法向量分别为和，则α⊥β⇔⊥⇔·＝0．典型例题：例1．【2018广东省中山市】如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，，>．（I）建立适当的空间坐标系

3、，求出点E的坐标；（II）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．【答案】（I）点E坐标是（1，1，1）；（II）点F的坐标是（1，0，0）．试题解析：（I）分别以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，如图，则（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），设P（0，0，2m），则（1，1，m），∴　（-1，1，m），＝（0，0，2m）∴　，．∴　点E坐标是（1，1，1）；（II）∵平面PAD，　∴　可设F（x，0，z）＝（x-1，-1，z-1），又EF⊥平面PCB，　∴　，-1，2，0，=0，解得，；又∵　∴　，-1，0，2，-2∴　点F的坐标是（1，0，0）

4、，即点F是AD的中点．【方法点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型．（I）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（II）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（III）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．例2．【2018陕西咸阳高三一模】如图，正三棱柱的所有棱长均为2，为棱上一点，是的中点．（I）若是的中点，证明：平面平面；（II）若平面与平面的夹角为，求的长．【答案】（I）见解析；（II）．【解析】试题分析：（I）证明垂直于面中的两条相交直线，则面．（II）建立空间直角坐标系求解．试题解析：（I）由，知，又平面平面，所以平面，而平面，∴，在正方形中，由分别是和的中点知，而，

5、∴平面，∵平面，∴平面平面．（II）取的中点为原点，直线分别为轴，建立如图所示坐标系，显然平面的一个法向量为，而，设，则．设是平面的法向量，则取，则解得，即【练一练提升能力】1．【2017南京市、盐城市高三二模】如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．（I）求异面直线EF，AD所成角的余弦值；（II）点M在线段A1D上，．若CM∥平面AEF，求实数λ的值．【答案】（I）．（II）．【解析】试题分析：（I）由四棱柱，证得，进而得到，以为正交基底建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算，即可求解所成角的余弦值

6、；（II）设，由点在线段上，得到，得出向量则坐标表示，再求得平面的一个法向量，利用向量的数量积的运算，即可得到的值．试题解析：因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD．又AEÌ平面ABCD，ADÌ平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．在菱形ABCD中∠ABC＝，则△ABC是等边三角形．因为E是BC中点，所以BC⊥AE．因为BC∥AD，所以AE⊥AD．以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，2)，E(，0，0)，F(，，1)．（I）＝(0，2，0)，＝(－，，1)，所以·＝1．从而cos＜

7、，＞＝＝．故异面直线EF，AD所成角的余弦值为．（II）设M(x，y，z)，由于点M在线段A1D上，且＝λ，则＝λ，即(x，y，z－2)＝λ(0，2，－2)．则M(0，2λ，2－2λ)，＝(－，2λ－1，2－2λ)．设平面AEF的法向量为n＝(x0，y0，z0)．因为＝(，0，0)，＝(，，1)，由n·＝0，n·＝0，得x0＝0，y0＋z0＝0．取y0＝2，则z0＝－1，则平面AEF的一个法向量为