2017-2018学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷 (2)

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2017-2018学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷　一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x≥0}，则集合M∩N=（　　）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0]C．[0，1）D．（1，+∞）2．（5分）若向量=（0，﹣1），=（3，2），则向量2的坐标是（　　）A．（3，1）B．（5，0）C．（3，4）D．（3，0）3．（5分）下列各组函数中表示同一函数的是（　　）A．y=和y=B．y=|x|和y=C．y=logax2和y=2logax（a＞0a≠1）D．y=x和y=logaax（a＞0，a≠1）4．（5分）sin15°cos45°+sin75°sin135°的值为（　　）A．B．C．D．5．（5分）如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（5分）函数f（x）=的零点一定位于下列哪个区间（　　）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．（5分）设函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，有如下三个论断：①图象C关于直线x=对称②函数f（x）在区间（）内是减函数③将函数y=3sin2x的图象向右平移个单位可以得到图象C第14页（共14页） 以上三个论断中，正确的论断个数是（　　）A．0B．1C．2D．38．（5分）已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时恒有f（x），则实数a的取值范围是（　　）A．（0，]∪[3，+∞）B．[）∪（1，3]C．[）∪（3，+∞）D．（0，]∪（1，3]　二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）函数y=的定义域为　　．10．（5分）已知a=（）π，b=，c=logπ，则这三个数从小到大用“＜”；连接的顺序是　　．11．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过（﹣2，﹣8），那么f（3）=　　．12．（5分）已知向量与的夹角为45°，且||=，||=1，则|3|=　　．13．（5分）一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n（n∈N*）年后，则批设备的价值为　　万元．14．（5分）已知f（x）满足如下关系（1）f（x+）=f（x﹣）（2）当x]时，f（x）=sinx给出下列四个命题①函数f（x）是周期函数；第14页（共14页） ②函数f（x）是奇函数；③函数f（x）的图象在区间（，）（k∈Z）上单调递增；④方程f（x）=|lgx|解的个数为4．其中正确说法的序号是　　．　三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知集合A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|m＜x＜m+3}．（Ⅰ）若A∪B=A，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．16．（13分）计算：log2﹣lg4﹣lg25﹣2（）．17．（13分）已知tanα=2，sinβ=，β∈（）．（Ⅰ）求cosβ和tan2α的值（Ⅱ）求tan（2α﹣β）的值．18．（13分）已知对数函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）的图象经过的（9，2）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）如果不等式f（x+1）＜1成立，求实数x的取值范围．19．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值及相应的x值．20．（14分）已知函数f（x），φ（x）满足关系f（x）=φ（x）•φ（x+α）（其中α为常数）．（Ⅰ）如果α=1，φ（x）=3x﹣1，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）如果，φ（x）=cosx，且对任意的x∈R，存在x1，x2∈R，使得f（x1）≤第14页（共14页） f（x）≤f（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值；（Ⅲ）如果φ（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0），求函数f（x）的最小正周期（只需写出结论）　第14页（共14页） 2017-2018学年北京市顺义区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x≥0}，则集合M∩N=（　　）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0]C．[0，1）D．（1，+∞）【解答】解：集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x≥0}，则集合M∩N={x|0≤x＜1}=[0，1），故选：C．2．（5分）若向量=（0，﹣1），=（3，2），则向量2的坐标是（　　）A．（3，1）B．（5，0）C．（3，4）D．（3，0）【解答】解：根据题意，向量=（0，﹣1），=（3，2），则2=（0，﹣2）则2=（3，0）；故选：D．3．（5分）下列各组函数中表示同一函数的是（　　）A．y=和y=B．y=|x|和y=C．y=logax2和y=2logax（a＞0a≠1）D．y=x和y=logaax（a＞0，a≠1）【解答】解：A、由于函数y=的定义域是[0，+∞），即两个函数的定义域不同，则A不对；B、由于函数y==x，即两个函数的解析式不同，则B不对；C、由于函数y=2logax的定义域是[0，+∞），即两个函数的定义域不同，则C不对；第14页（共14页） D、由于函数y=logaax=x，则D对．故选：D．4．（5分）sin15°cos45°+sin75°sin135°的值为（　　）A．B．C．D．【解答】解：sin15°cos45°+sin75°sin135°=sin15°cos45°+cos75°sin45°=sin（15°+45°）=sin60°=，故选：A．5．（5分）如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是（　　）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，∴，∴角θ所在的象限是第二象限．故选：B．6．（5分）函数f（x）=的零点一定位于下列哪个区间（　　）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：根据题意，函数f（x）==（）x﹣，其定义域为[0，+∞），且在其定义域上为减函数，则f（0）=（）0﹣0=1＞0，f（1）=（）1﹣1=﹣＜0，则f（0）f（1）＜0．则函数的零点在（0，1）上，故选：A．7．（5分）设函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象为C，有如下三个论断：第14页（共14页） ①图象C关于直线x=对称②函数f（x）在区间（）内是减函数③将函数y=3sin2x的图象向右平移个单位可以得到图象C以上三个论断中，正确的论断个数是（　　）A．0B．1C．2D．3【解答】解：函数f（x）=3sin（2x﹣），对于①：当x=时，可得f（x）的值为﹣3，取得最小值．∴①对；对于②：由≤2x﹣≤，可得：，∴函数f（x）在区间（）内是减函数，②对；对于③：函数y=3sin2x的图象向右平移个单位可以得到：y=3sin2（x﹣）=3sin（2x﹣），∴③不对．故选：C．8．（5分）已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣ax，当x∈（﹣1，1）时恒有f（x），则实数a的取值范围是（　　）A．（0，]∪[3，+∞）B．[）∪（1，3]C．[）∪（3，+∞）D．（0，]∪（1，3]【解答】解：由题意可知，ax＞x2﹣在（﹣1，1）上恒成立，令y1=ax，y2=x2﹣第14页（共14页） ，由图象知：0＜a＜1时a1≥1﹣，即≤a＜1；当a＞1时，a﹣1≥1﹣，可得1＜a≤3．∴≤a＜1或1＜a≤3．故选：B．　二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）函数y=的定义域为　{x|x≤1且x≠0}　．【解答】解：由，得x≤1且x≠0．∴函数y=的定义域为{x|x≤1且x≠0}．故答案为：{x|x≤1且x≠0}．10．（5分）已知a=（）π，b=，c=logπ，则这三个数从小到大用“＜”；连接的顺序是　c＜a＜b　．【解答】解：a=（）π∈（0，1），b=＞1，c=logπ＜0，则这三个数从小到大为：c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．第14页（共14页） 11．（5分）已知幂函数f（x）的图象经过（﹣2，﹣8），那么f（3）=　27　．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，其图象过点（﹣2，﹣8），∴（﹣2）α=﹣8，解得α=3；∴f（x）=x3，∴f（3）=33=27．故答案为：27．12．（5分）已知向量与的夹角为45°，且||=，||=1，则|3|=　　．【解答】解：根据题意，向量与的夹角为45°，且||=，||=1，则•=×1×=1，则（3﹣4）2=92+162﹣12•=；则|3﹣4|=，故答案为：．13．（5分）一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n（n∈N*）年后，则批设备的价值为　a（1﹣b%）n　万元．【解答】解：∵每年比上一年价值降低b%，∴每年的价值是上一年价值的（1﹣b%），则则n（n∈N*）年后，则批设备的价值为a（1﹣b%）n，故答案为：a（1﹣b%）n14．（5分）已知f（x）满足如下关系（1）f（x+）=f（x﹣）（2）当x]时，f（x）=sinx给出下列四个命题①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）是奇函数；第14页（共14页） ③函数f（x）的图象在区间（，）（k∈Z）上单调递增；④方程f（x）=|lgx|解的个数为4．其中正确说法的序号是　①②③　．【解答】解：∵f（x）满足如下关系：（1）f（x+）=f（x﹣），（2）当x]时，f（x）=sinx，∴f（x+π）=f[（x+）+]=f[（x+）﹣]=f（x），∴函数f（x）是周期为π的周期函数，故①正确．根据（2）以及函数f（x）是周期为π的周期函数，画出f（x）的图象，如图：可得②③都正确．再画出y=|lgx|的图象（图中红色曲线），数形结合可得f（x）的图象和y=|lgx|的图象有3个交点，故④不正确，故答案为：①②③．　三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知集合A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|m＜x＜m+3}．（Ⅰ）若A∪B=A，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵集合A={x|﹣2＜x＜5}，B={x|m＜x＜m+3}．A∪B=A，第14页（共14页） ∴B⊆A，∴，解得﹣2≤m≤2，∴实数m的取值范围是[﹣2，2]．（Ⅱ）∵A∩B≠∅，∴m＜﹣2＜m+3或m＜5＜m+3或﹣2＜m＜m+3＜5．解得﹣5＜m＜﹣2或﹣2＜m＜2或2＜m＜5．∴实数m的取值范围是（﹣5，﹣2）∪（﹣2，2）∪（2，5）．16．（13分）计算：log2﹣lg4﹣lg25﹣2（）．【解答】解：原式=﹣lg（4×25）+2﹣2×=﹣2+2﹣2×=﹣1．17．（13分）已知tanα=2，sinβ=，β∈（）．（Ⅰ）求cosβ和tan2α的值（Ⅱ）求tan（2α﹣β）的值．【解答】解：（Ⅰ）由sinβ=，β∈（），得cosβ=﹣．由tanα=2，得tan2α=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，tanβ=，又tan2α=，第14页（共14页） ∴tan（2α﹣β）===．18．（13分）已知对数函数f（x）=logax（a＞0，a≠1）的图象经过的（9，2）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）如果不等式f（x+1）＜1成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为loga9=2，所以a2=9，因为a＞0，所以a=3．（Ⅱ）因为f（x+1）＜1，也就是log3（x+1）＜1，所以log3（x+1）＜log33，所以，解得：﹣1＜x＜2，所以实数x的取值范围是{x|﹣1＜x＜2}．19．（14分）已知函数f（x）=sin2x﹣2cos2x（x∈R）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值及相应的x值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∴f（）=sin﹣2×=﹣．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，函数f（x）=sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，第14页（共14页） 故当2x﹣=，即x=时，函数f（x）取得最大值为﹣1．20．（14分）已知函数f（x），φ（x）满足关系f（x）=φ（x）•φ（x+α）（其中α为常数）．（Ⅰ）如果α=1，φ（x）=3x﹣1，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）如果，φ（x）=cosx，且对任意的x∈R，存在x1，x2∈R，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值；（Ⅲ）如果φ（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0），求函数f（x）的最小正周期（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）因为α=1，φ（x）=3x﹣1，所以f（x）=（3x﹣1）（3x+1﹣1）=3•（3x）2﹣4•3x+1，令t=3x（t＞0），所以是求函数y=3t2﹣4t+1（t＞0）的值域，且f（）=3×﹣4×+1=﹣，所以f（x）的值域为[﹣，+∞）；（Ⅱ）因为α=，φ（x）=cosx，所以f（x）=cosx•cos（x+）=﹣sinxcosx=﹣sin2x，因为对任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，所以f（x1），f（x2）应该分别为函数φ（x）在R上的最大值和最小值，所以|x1﹣x2|的最小值就是函数φ（x）的半周期，也就是|x1﹣x2|的最小值为；（Ⅲ）φ（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0），∴f（x）=Asinωx•Asinω（x+α）=A2sinωx•（sinωxcosα+cosωxsinα）第14页（共14页） =A2（sin2ωxcosα+sinωxcosωxsinα），由α为常数，利用二倍角公式化简，求出函数f（x）的最小正周期为=．　第14页（共14页）