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2017-2018学年北京市顺义区高一(上)期末数学试卷 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.(5分)已知集合M={x|﹣1<x<1},N={x|x≥0},则集合M∩N=( )A.(﹣1,+∞)B.(﹣1,0]C.[0,1)D.(1,+∞)2.(5分)若向量=(0,﹣1),=(3,2),则向量2的坐标是( )A.(3,1)B.(5,0)C.(3,4)D.(3,0)3.(5分)下列各组函数中表示同一函数的是( )A.y=和y=B.y=|x|和y=C.y=logax2和y=2logax(a>0a≠1)D.y=x和y=logaax(a>0,a≠1)4.(5分)sin15°cos45°+sin75°sin135°的值为( )A.B.C.D.5.(5分)如果点P(sinθ,cosθ)位于第四象限,那么角θ所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.(5分)函数f(x)=的零点一定位于下列哪个区间( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)7.(5分)设函数f(x)=3sin(2x﹣)的图象为C,有如下三个论断:①图象C关于直线x=对称②函数f(x)在区间()内是减函数③将函数y=3sin2x的图象向右平移个单位可以得到图象C第14页(共14页) 以上三个论断中,正确的论断个数是( )A.0B.1C.2D.38.(5分)已知a>0且a≠1,f(x)=x2﹣ax,当x∈(﹣1,1)时恒有f(x),则实数a的取值范围是( )A.(0,]∪[3,+∞)B.[)∪(1,3]C.[)∪(3,+∞)D.(0,]∪(1,3] 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.(5分)函数y=的定义域为 .10.(5分)已知a=()π,b=,c=logπ,则这三个数从小到大用“<”;连接的顺序是 .11.(5分)已知幂函数f(x)的图象经过(﹣2,﹣8),那么f(3)= .12.(5分)已知向量与的夹角为45°,且||=,||=1,则|3|= .13.(5分)一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,则n(n∈N*)年后,则批设备的价值为 万元.14.(5分)已知f(x)满足如下关系(1)f(x+)=f(x﹣)(2)当x]时,f(x)=sinx给出下列四个命题①函数f(x)是周期函数;第14页(共14页) ②函数f(x)是奇函数;③函数f(x)的图象在区间(,)(k∈Z)上单调递增;④方程f(x)=|lgx|解的个数为4.其中正确说法的序号是 . 三、解答题(共6小题,满分80分)15.(13分)已知集合A={x|﹣2<x<5},B={x|m<x<m+3}.(Ⅰ)若A∪B=A,求实数m的取值范围;(Ⅱ)若A∩B≠∅,求实数m的取值范围.16.(13分)计算:log2﹣lg4﹣lg25﹣2().17.(13分)已知tanα=2,sinβ=,β∈().(Ⅰ)求cosβ和tan2α的值(Ⅱ)求tan(2α﹣β)的值.18.(13分)已知对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象经过的(9,2).(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)如果不等式f(x+1)<1成立,求实数x的取值范围.19.(14分)已知函数f(x)=sin2x﹣2cos2x(x∈R).(Ⅰ)求f()的值;(Ⅱ)当x∈[0,]时,求函数f(x)的最大值及相应的x值.20.(14分)已知函数f(x),φ(x)满足关系f(x)=φ(x)•φ(x+α)(其中α为常数).(Ⅰ)如果α=1,φ(x)=3x﹣1,求函数f(x)的值域;(Ⅱ)如果,φ(x)=cosx,且对任意的x∈R,存在x1,x2∈R,使得f(x1)≤第14页(共14页) f(x)≤f(x2)恒成立,求|x1﹣x2|的最小值;(Ⅲ)如果φ(x)=Asinωx(A>0,ω>0),求函数f(x)的最小正周期(只需写出结论) 第14页(共14页) 2017-2018学年北京市顺义区高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析 一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)1.(5分)已知集合M={x|﹣1<x<1},N={x|x≥0},则集合M∩N=( )A.(﹣1,+∞)B.(﹣1,0]C.[0,1)D.(1,+∞)【解答】解:集合M={x|﹣1<x<1},N={x|x≥0},则集合M∩N={x|0≤x<1}=[0,1),故选:C.2.(5分)若向量=(0,﹣1),=(3,2),则向量2的坐标是( )A.(3,1)B.(5,0)C.(3,4)D.(3,0)【解答】解:根据题意,向量=(0,﹣1),=(3,2),则2=(0,﹣2)则2=(3,0);故选:D.3.(5分)下列各组函数中表示同一函数的是( )A.y=和y=B.y=|x|和y=C.y=logax2和y=2logax(a>0a≠1)D.y=x和y=logaax(a>0,a≠1)【解答】解:A、由于函数y=的定义域是[0,+∞),即两个函数的定义域不同,则A不对;B、由于函数y==x,即两个函数的解析式不同,则B不对;C、由于函数y=2logax的定义域是[0,+∞),即两个函数的定义域不同,则C不对;第14页(共14页) D、由于函数y=logaax=x,则D对.故选:D.4.(5分)sin15°cos45°+sin75°sin135°的值为( )A.B.C.D.【解答】解:sin15°cos45°+sin75°sin135°=sin15°cos45°+cos75°sin45°=sin(15°+45°)=sin60°=,故选:A.5.(5分)如果点P(sinθ,cosθ)位于第四象限,那么角θ所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解:∵点P(sinθ,cosθ)位于第四象限,∴,∴角θ所在的象限是第二象限.故选:B.6.(5分)函数f(x)=的零点一定位于下列哪个区间( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解答】解:根据题意,函数f(x)==()x﹣,其定义域为[0,+∞),且在其定义域上为减函数,则f(0)=()0﹣0=1>0,f(1)=()1﹣1=﹣<0,则f(0)f(1)<0.则函数的零点在(0,1)上,故选:A.7.(5分)设函数f(x)=3sin(2x﹣)的图象为C,有如下三个论断:第14页(共14页) ①图象C关于直线x=对称②函数f(x)在区间()内是减函数③将函数y=3sin2x的图象向右平移个单位可以得到图象C以上三个论断中,正确的论断个数是( )A.0B.1C.2D.3【解答】解:函数f(x)=3sin(2x﹣),对于①:当x=时,可得f(x)的值为﹣3,取得最小值.∴①对;对于②:由≤2x﹣≤,可得:,∴函数f(x)在区间()内是减函数,②对;对于③:函数y=3sin2x的图象向右平移个单位可以得到:y=3sin2(x﹣)=3sin(2x﹣),∴③不对.故选:C.8.(5分)已知a>0且a≠1,f(x)=x2﹣ax,当x∈(﹣1,1)时恒有f(x),则实数a的取值范围是( )A.(0,]∪[3,+∞)B.[)∪(1,3]C.[)∪(3,+∞)D.(0,]∪(1,3]【解答】解:由题意可知,ax>x2﹣在(﹣1,1)上恒成立,令y1=ax,y2=x2﹣第14页(共14页) ,由图象知:0<a<1时a1≥1﹣,即≤a<1;当a>1时,a﹣1≥1﹣,可得1<a≤3.∴≤a<1或1<a≤3.故选:B. 二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)9.(5分)函数y=的定义域为 {x|x≤1且x≠0} .【解答】解:由,得x≤1且x≠0.∴函数y=的定义域为{x|x≤1且x≠0}.故答案为:{x|x≤1且x≠0}.10.(5分)已知a=()π,b=,c=logπ,则这三个数从小到大用“<”;连接的顺序是 c<a<b .【解答】解:a=()π∈(0,1),b=>1,c=logπ<0,则这三个数从小到大为:c<a<b.故答案为:c<a<b.第14页(共14页) 11.(5分)已知幂函数f(x)的图象经过(﹣2,﹣8),那么f(3)= 27 .【解答】解:设幂函数f(x)=xα,其图象过点(﹣2,﹣8),∴(﹣2)α=﹣8,解得α=3;∴f(x)=x3,∴f(3)=33=27.故答案为:27.12.(5分)已知向量与的夹角为45°,且||=,||=1,则|3|= .【解答】解:根据题意,向量与的夹角为45°,且||=,||=1,则•=×1×=1,则(3﹣4)2=92+162﹣12•=;则|3﹣4|=,故答案为:.13.(5分)一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,则n(n∈N*)年后,则批设备的价值为 a(1﹣b%)n 万元.【解答】解:∵每年比上一年价值降低b%,∴每年的价值是上一年价值的(1﹣b%),则则n(n∈N*)年后,则批设备的价值为a(1﹣b%)n,故答案为:a(1﹣b%)n14.(5分)已知f(x)满足如下关系(1)f(x+)=f(x﹣)(2)当x]时,f(x)=sinx给出下列四个命题①函数f(x)是周期函数;②函数f(x)是奇函数;第14页(共14页) ③函数f(x)的图象在区间(,)(k∈Z)上单调递增;④方程f(x)=|lgx|解的个数为4.其中正确说法的序号是 ①②③ .【解答】解:∵f(x)满足如下关系:(1)f(x+)=f(x﹣),(2)当x]时,f(x)=sinx,∴f(x+π)=f[(x+)+]=f[(x+)﹣]=f(x),∴函数f(x)是周期为π的周期函数,故①正确.根据(2)以及函数f(x)是周期为π的周期函数,画出f(x)的图象,如图:可得②③都正确.再画出y=|lgx|的图象(图中红色曲线),数形结合可得f(x)的图象和y=|lgx|的图象有3个交点,故④不正确,故答案为:①②③. 三、解答题(共6小题,满分80分)15.(13分)已知集合A={x|﹣2<x<5},B={x|m<x<m+3}.(Ⅰ)若A∪B=A,求实数m的取值范围;(Ⅱ)若A∩B≠∅,求实数m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵集合A={x|﹣2<x<5},B={x|m<x<m+3}.A∪B=A,第14页(共14页) ∴B⊆A,∴,解得﹣2≤m≤2,∴实数m的取值范围是[﹣2,2].(Ⅱ)∵A∩B≠∅,∴m<﹣2<m+3或m<5<m+3或﹣2<m<m+3<5.解得﹣5<m<﹣2或﹣2<m<2或2<m<5.∴实数m的取值范围是(﹣5,﹣2)∪(﹣2,2)∪(2,5).16.(13分)计算:log2﹣lg4﹣lg25﹣2().【解答】解:原式=﹣lg(4×25)+2﹣2×=﹣2+2﹣2×=﹣1.17.(13分)已知tanα=2,sinβ=,β∈().(Ⅰ)求cosβ和tan2α的值(Ⅱ)求tan(2α﹣β)的值.【解答】解:(Ⅰ)由sinβ=,β∈(),得cosβ=﹣.由tanα=2,得tan2α=;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,tanβ=,又tan2α=,第14页(共14页) ∴tan(2α﹣β)===.18.(13分)已知对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1)的图象经过的(9,2).(Ⅰ)求实数a的值;(Ⅱ)如果不等式f(x+1)<1成立,求实数x的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)因为loga9=2,所以a2=9,因为a>0,所以a=3.(Ⅱ)因为f(x+1)<1,也就是log3(x+1)<1,所以log3(x+1)<log33,所以,解得:﹣1<x<2,所以实数x的取值范围是{x|﹣1<x<2}.19.(14分)已知函数f(x)=sin2x﹣2cos2x(x∈R).(Ⅰ)求f()的值;(Ⅱ)当x∈[0,]时,求函数f(x)的最大值及相应的x值.【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x﹣1=sin(2x﹣)﹣1,∴f()=sin﹣2×=﹣.(Ⅱ)当x∈[0,]时,2x﹣∈[﹣,],函数f(x)=sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x﹣1=sin(2x﹣)﹣1,第14页(共14页) 故当2x﹣=,即x=时,函数f(x)取得最大值为﹣1.20.(14分)已知函数f(x),φ(x)满足关系f(x)=φ(x)•φ(x+α)(其中α为常数).(Ⅰ)如果α=1,φ(x)=3x﹣1,求函数f(x)的值域;(Ⅱ)如果,φ(x)=cosx,且对任意的x∈R,存在x1,x2∈R,使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,求|x1﹣x2|的最小值;(Ⅲ)如果φ(x)=Asinωx(A>0,ω>0),求函数f(x)的最小正周期(只需写出结论)【解答】解:(Ⅰ)因为α=1,φ(x)=3x﹣1,所以f(x)=(3x﹣1)(3x+1﹣1)=3•(3x)2﹣4•3x+1,令t=3x(t>0),所以是求函数y=3t2﹣4t+1(t>0)的值域,且f()=3×﹣4×+1=﹣,所以f(x)的值域为[﹣,+∞);(Ⅱ)因为α=,φ(x)=cosx,所以f(x)=cosx•cos(x+)=﹣sinxcosx=﹣sin2x,因为对任意x∈R,存在x1,x2∈R,使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,所以f(x1),f(x2)应该分别为函数φ(x)在R上的最大值和最小值,所以|x1﹣x2|的最小值就是函数φ(x)的半周期,也就是|x1﹣x2|的最小值为;(Ⅲ)φ(x)=Asinωx(A>0,ω>0),∴f(x)=Asinωx•Asinω(x+α)=A2sinωx•(sinωxcosα+cosωxsinα)第14页(共14页) =A2(sin2ωxcosα+sinωxcosωxsinα),由α为常数,利用二倍角公式化简,求出函数f(x)的最小正周期为=. 第14页(共14页)
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