连续体拓扑优化设计

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1、山东大学硕士论文第一章绪论1．1引言古代，建筑工匠用不同比例的泥沙和稻草简单混合物修建房屋，这就代表了一种原始的拓扑思想。近代拓扑优化的理论发展已有二三十年的历史，由于人类可资利用的能源、原材料是有限的，所以能够高效的利用它们为人类的生产和生活服务是非常重要的。如何才能最大限度的发挥其利用效率是人们一直追寻的目标。20世纪以来，人类社会的发展进入到了人工合成材料的新时代，金属材料、高分子材料、陶瓷材料和复合材料得到迅速的发展，特别是特定性能的复合材料在国防、工农业生产中发挥了越来越大的作用。材料、能源和信息一起成为现代科技发展的三大支柱，为现代社会的发展奠定了物质基

2、础。如何高效地利用材料?如何合理地分布材料?如何寻找完成特定功能的机构的新构形?如何设计出我们需要的材料?拓扑优化的方法可以让我们找到这些问题的答案，寻求这些问题的解决方法也正是本文的研究重点!，由于人类可资利用的资源是有限的，在工程设计领域，结构的优化占据越来越重要的地位。近年来，优化已经陆续应用到建筑、造船、化工、冶金、交通、航空、机械制造、自动控制等领域。因为结构优化的目的是以最少的材料，最低的造价，最简单的工艺，实现结构的最优性能，包括强度、刚度、稳定性等耳标。实践表明，将优化方法应用于设计，不仅可以大大地缩短设计周期，显著地提高设计质量，而且还可以解决传统

3、设计方法无法解决的复杂设计问题。总之，结构优化即是在满足给定的条件下，寻找给定目标函数的极大或者极小值的过程。在拓扑优化问题中，日标函数可以是结构的刚度、体积、造价、变形、自振频率、振幅等。优化方法的出现可追溯到Newton，Lagrange，Cauchy时代。Lagrange乘子法是求解包含待定乘子的约束优化问题的方法，Cauchy最早应用最速下降法来求解无约束极小化问题。尽管早期有这些贡献，但是，在20世纪中期以前，优化方法的进展非常缓慢，随着高速数字电子计算机技术的提高，才使优化程序的实施成为可能，且以数值计算为基础的优化得到了极大的发展，并且促使各种新的算法

4、进一步发展。在优化方法的研究过程中，经历了从无约束优化到有约束优化，从线性优山东大学硕士论文化到非线性优化的发展过程。1947年，Dantizig提出了求解线性规划问题的单纯形法，1957年，BellMan对动态优化问题提出了最优化原理，这两方面的进展为约束优化方法的发展铺平了道路。1951年Kuhn和Tucker提出的关于规划问题最优解的充要条件，该工作为日后优化在非线性领域的大量研究奠定了基础。60年代初期，Zoutendijk和Rosen的研究工作对非线性规划的进一步发展有很重要的价值。尽管还没有发现一种方法能普遍适用于非线性规划的所有问题，但是，Carrol

5、l，Fiacco，McCormick的研究使很多非线性规划问题能用众所周知的无约束优化方法方便地予以解决。在此基础上，几何规划、动态规划、整数规划、随机规划都有了很大的发展。这些优化方法的产生为工程应用奠定了很好的基础。二十世纪六十年代尺度优化已经应用于工程结构优化中，七十年代则是形状优化蓬勃发展的时期，同时各种优化方法应运而生，进入九十年代(1990s)，伴随着高速计算机的出现，数值计算技术的成熟，拓扑优化进入了活跃发展时期。总之，这些优化方法和思想在实际工农业中的广泛应用，有力地促进了生产的发展，极大地提高了人们的设计水平。1．1．1优化问题的数学描述为了把数学

6、理论和最优化理论相结合的数值方法应用到具体的工程问题中，必须明确地描述出要优化的系统的边界。要从可行设计中得出“最优解”，就要规定出定量的标准，因此，必须从数学上对系统进行定量的描述。(1)定义系统边界；(2)确定性能指标；(3)找出设计变量；．(4)建立系统模型。目前，拓扑优化的求解是把无限维拓扑问题转化为有限维的数学规划问题，对结构拓扑优化的数学描述一直是众多科学家和工程师研究的课题。如何建立合适的数学模型，也是本文的目标。1．1．2优化的应用优化设计自从发展以来在工程问题的所有分支中都得到了广泛的应用。总的说来，可归纳为以下三个方面。2山东大学硕士论文(1)部

7、件或者整个系统的设计结构有限元分析使得部件和系统的优化设计成为可能。工程设计的应用范围从各个结构单元设计到单个设备设计，直到整个生产设施的概念设计。为了进行最优化，假设系统的结构或者形状为已知，那么最优问题就简化为选择元件的尺寸和运行参量，使选择的性能标准获得最佳值。(2)运行系统的计划和分析工程优化应用的第二个主要方面是调整已有的运行过程和建立多生产过程的生产规划。当按某个运行条件设计的现有生产设备要在不同的条件下运行时，就出现了典型的运行分析问题。研究这类问题的目的就是要①适应于增长的生产；’②适应于不同的原料或不同的生产人员；③因为原设计本身不能满足要求或