基于拓扑描述函数的连续体结构拓扑优化方法

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1、万方数据第36卷第5期2004年9月力学报ACTAMECHANICASINICAVbl．36．No．5Sept．，2004基于拓扑描述函数的连续体结构拓扑优化方法D郭旭赵康(大连理工大学工程力学系，工业装备结构分析国家重点实验室，大连116023)摘要提出了一种利用拓扑描述函数(TDF)作为拓扑设计变量求解连续体结构拓扑优化问题的新方法．优化问题的目标函数是结构的整体柔顺性，约束条件为对于可利用材料的体积限制．这种方法不仅可以消除拓扑优化中经常出现的棋盘格式等数值不稳定现象，而且能够有效地抑制传统算法处理此类优化问题时所引发的边界扩散效应．与其它的基于水平集描述函数的拓扑优化

2、方法相比，所提出的算法不仅无需求解控制水平集函数演化的双曲守恒方程，而且合理地考虑了目标函数的拓扑导数信息，因而使得算法的计算效率有了显著的提高．关键词拓扑优化，拓扑描述函数，棋盘格式，边界扩散，拓扑导数引言连续体结构的拓扑优化是近20年来结构优化领域内的一个热点．被公认为是最具有挑战性的研究课题．拓扑优化的目的是要寻求结构的某种布局(如结构内有无孔洞，空洞的位置、数量以及组合结构中构件的连接方式等等)，使其能够在满足一切有关应力、位移等约束条件的情形下将外荷载传递到支座，并让某种性能指标达到最优．因为拓扑优化有助于工程师提出新颖高效的概念设计方案，因此已经在许多工程领域内取

3、得了广泛应用．对于连续体结构的拓扑优化，目前采用较多的是均匀化方法【1】和变密度法[2，引．均匀化方法将具有微结构的复合材料引入优化问题列式，并采用微结构的尺寸参数作为拓扑设计变量，通过对其进行调整来改变材料的力学性能，进而决定结构的最优拓扑．相对于均匀化方法而言，变密度方法的概念更为简单，实现也相对容易．这种方法不需要引入微结构，而是直接把材料的密度作为拓扑设计变量来实现结构的拓扑变化(如设计区域中某点密度值为0则认为此点无材料，否则认为此点有材料)，同时通过人为假定的材料宏观弹性常数与其密度之间的某种非线性关系对。一1之间的密度值进行惩罚，以使优化结果尽可能具有非0即1的

4、密度分布．有关这方面的最新进展，可以参见文献[4]．变密度法由于具有实现简单、适用性强的特点，近年来在结构拓扑优化中得到了广泛的应用．但这种方法的一个严重缺陷是其问题提法是不适定的．由于优化问题最优解的存在性得不到保证，因而导致优化结果往往依赖于有限元网格的划分．另外如果采用低阶位移插值模式对位移场进行有限元近似，优化结果中往往还会出现棋盘格式(checkerboardpat—tern)现象．为了解决这个问题，Sigmund[5J基于力学直观，提出了一种采用过滤后的目标函数灵敏度参与设计变量更新迭代的算法．这种做法的数学基础虽然还有待严格论证，但是大量的数值实验表明：它不仅可

5、以有效消除棋盘格式而且还可以对最优拓扑中最细构件的尺寸加以控制．但值得指出的是：在这种做法中由于引入了平均化算子，因而结构的最优拓扑将不可避免地存在边界扩散现象．特别是当光滑算子的影响域半径较大时，这种情况更为严重．边界扩散将给结构边界的提取带来麻烦，不利于优化结果的解释以及后续优化步骤(如形状以及尺寸优化)的进行．为了解决上述问题，本文提出了一种利用拓扑描述函数(topologydescriptionfunction，简称TDF)作为拓扑设计变量求解连续体结构拓扑优化问题的新方法．所谓拓扑描述函数是指定义在初始设计区域上的一个函数，其函数值大于零和小于零的部分分别代表结构中

6、的实体以及孔洞区域，而其零水平集则代表结构的边界．改变拓扑描述函数就可以问接地改变结构拓扑．在数值实现上，本文采用有限单元法对拓扑描述函数进行离散，并利用数学规划法求解作为设计变量的TDF节点值．这样就避免求2003—11—05收到第1稿，2004-05—11收到修改稿．1)国家自然科学基金(10102003，10032030，10225212，10332010)和留学归国人员启动基金资助项目万方数据第5期郭旭等：基于拓扑描述函数的连续体结构拓扑优化方法521解复杂的Hamilton—Jacobi双曲守恒方程，从而彻底摆脱CFL条件对于计算效率的限制．在对Heaviside函

7、数进行正则化处理时，通过引入支集放松技术，合理地考虑目标函数的拓扑导数信息，从而进一步提高算法的计算效率．1优化问题的列式在本节中将给出体积约束下结构整体柔顺性最小化问题的优化列式．不失一般性，这里仅对二维问题展开讨论．在基结构模型下，结构的拓扑可采用如式(1)所示的特征函数)(=x(茁)加以描述．1l，霉∈‰)((∞)={(1)l0，∞∈仃＼‰这里力代表基结构所占有的区域，而‰为实体材料所占有的区域，而仃＼‰部分是孔洞区域．参见图1．图1连续体结构拓扑优化的基结构模型Fig．1Groundstruct