二次函数与面积最值问题

《二次函数与面积最值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二次函数最值问题1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?解：（1）（2）∵a=<0∴S有最大值∴∴S的最大值为∴当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是200cm2。2.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发

2、，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求△PBQ的面积的最大值.解：（1）∵S△PBQ=PB·BQ,PB=AB－AP=18－2x，BQ=x∴y=（18－2x）x，即y=－x2+9x（0

3、是20cm23．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？解：（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6﹣t）cm，BQ=2tcm，故S△PBQ=•（6﹣t）•2t=﹣t2+6t∵S矩形A

4、BCD=6×12=72．∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）；（2）∵S=t2﹣6t+72=（t﹣3）2+63，∴当t=3秒时，S有最小值63cm．4．在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图，若设花园的BC边长为x（m）花园的面积为y（m2）（1）求y与x之间的函数关系式，并求自变量的x的范围（2）当x取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∵BC=xm

5、，AB+BC+CD=40m，∴AB=∴花园的面积为：y=x•=﹣x2+20x（0＜x≤15）；∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x2+20x（0＜x≤15）；（2）∵y=﹣x2+20x=﹣（x﹣20）2+200，∵a=﹣＜0，∴当x＜20时，y随x的增大而增大∴当x=15时，y最大，最大值y=187.5．∴当x取15时花园的面积最大，最大面积为187.5．二次函数中常见图形的的面积问题xyOMENA图五OxyDC图四xyODCEB图六PxyOABD图二ExyOABC图一xyOAB图三1、说出如何表示各图中阴影部分的面

6、积？4、如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y=﹣x2+bx+c中得∴∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；(2)设

7、(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；解：（2）存在理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小∵y=﹣x2﹣2x+3∴C的坐标为：（0，3）直线BC解析式为：y=x+3，Q点坐标即为解得∴Q（﹣1，2）；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解

8、：（3）存在．理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0）∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO﹣若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BEPE+OE（PE+OC）（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）==当x=﹣时，S四边