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时间:2019-01-26
《3.三角函数的图象与性质(人教a)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、. 第3讲 三角函数的图象与性质【2013年高考会这样考】1.考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用.2.考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用.【复习指导】1.掌握正弦,余弦、正切三角函数的图象和性质,会作三角函数的图象.通过三角函数的图象研究其性质.2.注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用.基础梳理1.“五点法”描图(1)y=sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0),,(π,0),,(2π,0).(2)y=cosx的图象在[
2、0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1),,(π,-1),,(2π,1).2.三角函数的图象和性质 函数性质 y=sinxy=cosxy=tanx定义域RR{x
3、x≠kπ+,k∈Z}图象值域[-1,1][-1,1]R...对称性对称轴:x=kπ+(k∈Z)对称中心:(kπ,0)(k∈Z)对称轴:x=kπ(k∈Z)对称中心:无对称轴对称中心:(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间,2kπ+(k∈Z);单调减区间,2kπ+(k∈Z)单调增区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z);单调减区间[2kπ,2kπ+π](k∈Z)单调增区间,k
4、π+(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx,而偶函数一般可化为y=Acosωx+b的形式.三种方法求三角函数值域(最值)的方法:(1)利用sinx、cosx的有界性;(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;...(3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在区间
5、上的值域(最值)问题.双基自测1.(人教A版教材习题改编)函数y=cos,x∈R( ).A.是奇函数B.是偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案 C2.函数y=tan的定义域为( ).A.B.C.D.答案 A3.(2011·全国新课标)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( ).A.f(x)在单调递减B.f(x)在单调递减C.f(x)在单调递增D.f(x)在单调递增解析 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin,由最小正周期为π
6、得ω=2,又由f(-x)=f(x)可知f(x)为偶函数,因此φ+=kπ+(k∈Z),又
7、φ
8、<可得φ=,所以f(x)=cos2x,在单调递减....答案 A4.y=sin的图象的一个对称中心是( ).A.(-π,0)B.C.D.解析 ∵y=sinx的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),∴令x-=kπ(k∈Z),x=kπ+(k∈Z),由k=-1,x=-π得y=sin的一个对称中心是.答案 B5.(2011·合肥三模)函数f(x)=cos的最小正周期为________.解析 T==π.答案 π 考向一 三角函数的定义域与值域【例1】►(
9、1)求函数y=lgsin2x+的定义域.(2)求函数y=cos2x+sinx的最大值与最小值.[审题视点](1)由题干知对数的真数大于0,被开方数大于等于零,再利用单位圆或图象求x的范围.(2)将余弦化为正弦,再换元处理,转化为关于新元的一元二次函数解决.解 (1)依题意⇒⇒.(2)设sinx=t,则t∈.∴y=1-sin2x+sinx=-2+,t∈,...故当t=,即x=时,ymax=,当t=-,即x=-时,ymin=.(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.(2)求解三角函数的值域
10、(最值)常见到以下几种类型的题目:①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).【训练1】(1)求函数y=的定义域.(2)已知函数f(x)=cos+2sin·sin,求函数f(x)在区间上的最大值与最小值.解 (1)要使函数有意义,必须使s
11、inx-cosx≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的图象,如图所示.在[0,2π]内,满足sinx=cosx的x为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以定义域为.(2)由题意得
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