角函数的图象与性质(人教a

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1、第3讲　三角函数的图象与性质【2013年高考会这样考】1．考查三角函数的图象及其性质在图象交换中的应用．2．考查三角函数的图象及其性质在解决三角函数的求值、求参、求最值、求值域、求单调区间等问题中的应用．【复习指导】1．掌握正弦，余弦、正切三角函数的图象和性质，会作三角函数的图象．通过三角函数的图象研究其性质．2．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用．基础梳理1．“五点法”描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，，(π，－1)，，(

2、2π，1)．2．三角函数的图象和性质　　函数性质　　y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x

3、x≠kπ＋，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R第11页共11页对称性对称轴：x＝kπ＋(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：无对称轴对称中心：(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间，2kπ＋(k∈Z)；单调减区间，2kπ＋(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间，kπ＋(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期

4、为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；第11页共11页(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．双基自测1．(人教A版教材习题改编)函数y＝cos，x∈R(　　)．A．是奇函数B．是偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是

5、偶函数答案　C2．函数y＝tan的定义域为(　　)．A.B.C.D.答案　A3．(2011·全国新课标)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则(　　)．A．f(x)在单调递减B．f(x)在单调递减C．f(x)在单调递增D．f(x)在单调递增解析　f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，因此φ＋＝kπ＋(k∈Z)，又

6、φ

7、＜可得φ＝，所以f(x)＝cos2x，在单调递减．第11页共11页答案　A4．y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)．A．(

8、－π，0)B.C.D.解析　∵y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋(k∈Z)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin的一个对称中心是.答案　B5．(2011·合肥三模)函数f(x)＝cos的最小正周期为________．解析　T＝＝π.答案　π　　考向一　三角函数的定义域与值域【例1】►(1)求函数y＝lgsin2x＋的定义域．(2)求函数y＝cos2x＋sinx的最大值与最小值．[审题视点](1)由题干知对数的真数大于0，被开方数大于等于零，再利用单位圆或图象求x的范围．(2)将余弦化为正弦，再换元处理，转化为关于新元的一元二次函数解决．解　(1)

9、依题意⇒⇒.(2)设sinx＝t，则t∈.∴y＝1－sin2x＋sinx＝－2＋，t∈，第11页共11页故当t＝，即x＝时，ymax＝，当t＝－，即x＝－时，ymin＝.(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，

10、可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．【训练1】(1)求函数y＝的定义域．(2)已知函数f(x)＝cos＋2sin·sin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值．解　(1)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是