高三数学（理科）一轮复习§8.2空间几何体的表面积与体积（教案）

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1、响水二中高三数学（理）一轮复习教案第八编立体几何主备人张灵芝总第36期§8.2空间几何体的表面积与体积基础自测1.（2008·山东）如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是.答案122.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1=A1B1，则多面体P-BCC1B1的体积为.答案3.已知正方体外接球的体积为,那么正方体的棱长等于.答案4.（2008·福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.答案95三棱锥S—ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=

2、2，则三棱锥S—ABC的表面积是.答案3+例题精讲例1如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a＞b＞c＞0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长.解将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.226三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：=，=，=，∵a＞b＞c＞0,∴ab＞ac＞bc＞0.故最短线路的长为.例2如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.解如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,∴

3、AC=R,BC=R,CO1=R,∴S球=4R2,=×R×R=R2,=×R×R=R2,∴S几何体表=S球++=R2+R2=R2,∴旋转所得到的几何体的表面积为R2.又V球=R3,=·AO1·CO12=R2·AO1=BO1·CO12=BO1·R2∴V几何体=V球-（+）=R3-R3=R3.例3如图所示，长方体ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C—A′DD′，求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.解已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′.设它的底面ADD′A′面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.而棱锥C—A′DD′的底面面积为S，高是h,因此，棱锥C—A′D

4、D′的体积VC—A′DD′=×Sh=Sh.余下的体积是Sh-Sh=Sh.所以棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.例4如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积.解由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.226∴折叠后得到一个正四面体方法一作AF⊥平面DEC，垂足为F，F即为△DEC的中心.取EC的中点G，连接DG、AG，过球心O作OH⊥平面AEC.则垂足H为△AEC的中心∴外接球半径可利用△OHA∽△GFA求得.∵AG

5、=，AF==，在△AFG和△AHO中，根据三角形相似可知，AH=.∴OA===.∴外接球体积为×OA3=··=方法二如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球.∵正四面体的棱长为1，∴正方体的棱长为，∴外接球直径2R=·，∴R=，∴体积为·=.∴该三棱锥外接球的体积为.巩固练习1.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是.答案52.如图所示，扇形的中心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积

6、V1和V2之比为.答案1∶13.如图所示，三棱锥A—BCD一条侧棱AD=8cm，底面一边BC=18cm，其余四条棱的棱长都是17cm，求三棱锥A—BCD的体积.解取BC中点M，连接AM、DM，取AD的中点N，连接MN∵AC=AB=CD=BD，∴BC⊥AM，BC⊥DM，又∵AM∩DM=M，∴BC⊥平面ADM，BC=18，AC=AB=DB=DC=17.∴AM=DM=4，∴NM⊥AD，∴MN=8.∴S△ADM=·MN·AD=·8·8=32.∴VA—BCD=VB—ADM+VC—ADM226=×S△ADM×（BM+CM）=×32×18=192（cm3）.4.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长

7、为a,侧棱长为a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.解（1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS，所以O为△SAC的外心，即△SAC的外接圆半径就是球的半径.∵AB=BC=a，∴AC=a.∵SA=SC=AC=a，∴△SAC为正三角形.由正弦定理得2R=，因此，R=a，V球=R3=a3.（2）设内切球半径为r，作SE⊥底面ABCD于E，作SF⊥BC于F，连接EF，则有