8.2+空间几何体的表面积与体积

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1、§8.2空间几何体的表面积与体积要点梳理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积：面积体积圆柱圆锥基础知识自主学习圆台直棱柱正棱锥正棱台球2.几何体的表面积（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是.（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是、、；它们的表面积等于.各面面积之和矩形扇形扇环形侧面积与底面面积之和基础自测1.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于,则该圆锥的体积为（）A.B.C.D.解析设圆锥的底面半径为r，则C2.（2008·湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A.B.C.D.解析截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R，则R2=12+1

2、2=2，∴R=，B3.（2009·陕西文，11）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A.B.C.D.解析由题意可知，此几何体是由同底面的两个正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每一个正四棱锥的高为，所以B4.（2009·海南理，11）一个棱锥的三视图如下图，则该棱锥的全面积(单位:cm2)为()A.B.C.D.解析该几何体是一个底面为直角三角形的三棱锥，如图，SE=5，SD=4，AC=，AB=BC=6，∴S全=S△ABC+2S△SAB+S△ASC答案A5.（2008·山东理，6）如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是()A

3、.9πB.10πC.11πD.12π解析几何体为一个球与一个圆柱的组合体,S=4π·12+π·12·2+2π·1·3=12π.D题型一几何体的展开与折叠有一根长为3πcm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少？把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离.题型分类深度剖析解把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图所示），由题意知BC=3πcm，AB=4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.故铁丝的最短长度为5πcm.求立体

4、图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型.这类题目的特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上.为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决.其基本步骤是：展开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形，找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长.知能迁移1如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a>b>c>0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短线路的长.本题可将长方体表面展开，利用平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来

5、解答.解将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为题型二旋转体的表面积及其体积如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积.先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状,再求表面积.解如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=,BC=R,∴S球=4πR2,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算.知能迁移2已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱

6、，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？解如图为轴截面.设圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则题型三多面体的表面积及其体积一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥的体积.本题为求棱锥的体积问题.已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积和高，再根据体积公式求出其体积.解如图所示，正三棱锥S—ABC.设H为正△ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高.连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式进行计算即可.常用方法：割补法和等积

7、变换法.（1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体积，从而得出几何体的体积.（2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”.知能迁移3如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为()A.B.C.D.解析本题中的多面体是一个不规则的几何体,因此