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1、空间几何体的表面积和体积1.多面体的面积和体积公式名称侧而积(S侧)全而积(S全)体积(V)棱柱棱柱直截面周长XIS侧+2S底S底•h=S直截面•h直棱柱chS底•h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底
2、s底•h正棱锥丄ch，2棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底*h(S卜.底+S下底+Js下底・s下底)正棱台-(c+c‘)h'2表屮S表示面积，c'、C分别表示上、下底面周长，h表斜高，2表示斜高，1表示侧棱长。2.旋转体的而积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球s侧2nrlnrl兀(ri+r2)1s全2nr(1+r)nr(l+r)兀(ri
3、+r2)1+n(r+r22)4JiR2Vnr2h(BPnr2l)1“-hr*h3丄兀h(r2i+rir2+rZ2)3-71F3表中1、h分别表示母线、高，I•表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，口、辺分别表示圆台上、下底而半径，R表示半径。总结：1.正四面体的性质设正四面体的棱长为a,则这个正四面体的(1)全面积:S^=a/3a2；(2)体积：V=—a3；⑶对棱中点连线段的长：d二V22a；⑷内切球半径：r=lla;（5）外接球半径（6）正四而体内任意一点到四个面的距离之和为定值（等于正四而体的高）。2.直角四面体的性质有一个三面角的各
4、个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面体有下列性质：如图，在直角四面体AOCB中,ZA0B=ZB0C=ZC0A=90°,OA=a,OB=b,OC=c0贝
5、J：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；②直角顶点0在底面上的射影H是AABC的垂心；③体积V=—abc；6④底而△abc二一+b~c~+c~a~；2⑤SNabLS△BHC•SzABC；@s2△BOC二S2AAOK+S2^AOC=S2AABC11+.b2c2，R二丄7a2+b24-c2；2⑧外切球半径⑨内切球半径^AAOB+S^BOC"S^ABC1a+b+c3.圆锥轴截而
6、两腰的夹角叫圆锥的顶角.①如图，圆锥的顶角为B,母线与下底面所成角为a,母线为1,高为h,底面半径为r,贝ljr,a+邑90。2•0/?sina=cos——二一,2I・0rcosa二sin——=—2I②圆台如图，圆台母线与下底面所成角为a,母线为1,高为h,上.下底面半径分别为t'、r,则h=lsina,r~r'=lcosao③球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截而截得的圆叫做球的小圆；(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；(3)球心和截面距离d,球半径R,截面半径r有关
7、系：r=VR2-d2.4.经度、纬度:经线：球面上从北极到南极的半个大圆;纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0°经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。4.两点的球而距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的t度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离.两点的球面距离公式：（其中R为球半径，&为A,B所对应的球心角的弧度数）典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1.一个长方体全而积是20c
8、m2,所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.例2・如图1所示,在平行六面体ABCD—AiBjCjDi中，已知AB二5,AD=4,AA）=3,7tAB丄AD,ZA
9、AB=ZA
10、AD=—o3（1）求证：顶点A］在底面ABCD±的射影O在ZBAD的平分线上；（2）求这个平行六而体的体积。图1图2（提示图）题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3・一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是拆，这个长方体对角线的长A.2a/3B.3a/2C.6D.76例4.如图，三棱柱ABC—A
11、B
12、Ci中，若E、F分别为AB、AC的屮点，平面EB】C]将三
13、棱柱分成体积为V】、V?的两部分，那么V
14、:V2=。题型3：锥体的体积和表面积例5.在四棱锥P-ABCD中，底血是边长为2的菱形，ZDAB=60°,对角线AC与BD相交于点0,PO丄平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为60°,求四棱锥P-ABCD的体积？例6・在三棱锥S—ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB二90°,且人C二BC=5,SB=5^50（女口图所示）（I）证明：SC丄BC；（II）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小;（III）求三棱锥的体积％-遊。图题型4：锥体体积、表面积综合问题例7.（如图，在四面体AB
15、CD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个而都相切的球）球心0,且与BC,DC分别截于E、E,如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别是Si,S2,则必有（）A.S1VS2B.Si>S
