2017年湖南省十三校联考高三理科二模数学试卷

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1、2017年湖南省十三校联考高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.若复数z满足1+2iz=1−i，则复数z在复平面对应的点位于  A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.函数fx=lnx−2x的零点所在的大致区间是  A.1,2B.2,3C.1,1eD.e,+∞3.设α，β是两个不同的平面，l是直线且l⊂α，则“α∥β”是“l∥β”的  A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设随机变量X服从正态分布N4,σ2，若PX>m=0

2、.3，则PX>8−m=  A.0.2B.0.3C.0.7D.与σ的值有关5.中心在坐标原点的双曲线C的两条渐近线与圆x−22+y2=3相切，则双曲线的离心率为  A.2B.233C.3D.2或2336.已知函数y=2sinx+π2cosx−π2与直线y=12相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，⋯，则M1M12等于  A.16π3B.6πC.17π3D.12π7.曲线x=∣y−1∣与y=2x−5围成封闭区域（含边界）为Ω，直线y=3x+b与区域Ω有公共点，则b的最小值为  A.1

3、B.−1C.−7D.−118.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是  第8页（共8页）A.3024B.1007C.2015D.20169.如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC=λAM+μBN，则λ+μ=  A.2B.83C.65D.8510.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为  A.2B.5C.3D.411.已知抛物线C:y2=2pxp>0和动直线l:y=kx+b（k，b是参变量，且k≠0

4、，b≠0）相交于Ax1,y2，Bx2,y2两点，直角坐标系原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为kOA⋅kOB=3恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为  A.−3p,0B.−23p,0C.−3p3,0D.−23p3,012.已知函数fx=1+9x2,x≤01+xex−1,x>0，点A，B是函数fx图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是  A.0,π4B.0,π4C.0,π3D.0,π3二、填空题（共4小题；共20分）13.x+1x+25的展开式中，x2的系数是______．14.

5、设x表示不大于x的最大整数，集合A=xx2−2x=3，B=x2x>8，则A∩B=______．15.已知x1，x2是函数fx=2sin2x+cos2x−m在0,π2内的两个零点，则 sinx1+x2=______．16.已知在△ABC中，2BA−3BC⋅CB=0，则角A的最大值为______．三、解答题（共7小题；共91分）第8页（共8页）17.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an−n．（1）证明数列an+1是等比数列，求数列an的通项公式；（2）记bn=1an+1+1anan+1，求数列b

6、n的前n项和Tn．18.为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试．附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d．PK2>k00.1000.0500.0250.0100.005k02.7063.8415.0246.6357.879（1）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关．优秀人数非优秀人数总计甲班乙班30总计60（2）现已知A，B，C三人获得优秀的概率分别为

7、12，13，13，设随机变量X表示A，B，C三人中获得优秀的人数，求X的分布列及期望EX．19.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE−BCF和一个正四棱锥P−ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2．（1）证明：平面PAD⊥平面ABFE；（2）求正四棱锥P−ABCD的高h，使得二面角C−AF−P的余弦值是223．20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:y=−x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．（1）求椭圆E的方程及点T的坐标

8、；（2）设O是坐标原点，直线lʹ平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得PT2=λPA⋅PB，并求λ的值．21.已知函数fx=lnx+a−x,a∈R．（1）当a=−1时，求fx的单调区间；（2）若x≥1时，不等式efx+a2x2>1成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线C1:x=−2，圆C2:x−12+y−22=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；第8页（