2016年辽宁省沈阳市铁路中学高二理科下学期数学期中考试试卷

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1、2016年辽宁省沈阳市铁路中学高二理科下学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.若复数z=1+bi2+i（b∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z是  A.35iB.−35iC.−iD.i2.曲线fx=x3+x−2在p0处的切线平行于直线y=4x−1，则p0的坐标为  A.1,0B.2,8C.1,0或−1,−4D.2,8或−1,−43.设n为正整数，fn=1+12+13+⋯+1n，经计算得f2=32，f4>2，f8>52，f16>3，f32>72．观察上述结果，可推测出一般结论是  A.f2n>2n+12B.fn2≥n+22C.f2n≥n+22D.以上都不对4.由曲线y=x2

2、与y=x的边界所围成区域的面积为  A.13B.23C.1D.165.用数学归纳法证明“n+1n+2⋯n+n=2n⋅1⋅2⋯2n−1n∈N+”时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是  A.2k+1B.2k+3C.22k+1D.22k+36.函数fx=3+xlnx的单调递减区间是  A.1e,eB.0,1eC.−∞,1eD.1e,+∞7.已知函数fx=2ln3x+8x，则limΔx→0f1+2Δx−f1Δx的值为  A.−20B.−10C.10D.208.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r=2Sa+b+c，类比这个结论可知，四面体S−ABC的

3、四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S−ABC的体积为V，则R等于  A.VS1+S2+S3+S4B.2VS1+S2+S3+S4C.3VS1+S2+S3+S4D.4VS1+S2+S3+S49.若fx=−12x2+blnx+2在−1,+∞上是减函数，则b的取值范围是  A.−1,+∞B.−1,+∞C.−∞,−1D.−∞,−110.已知函数fx=sinx−x，x∈R，则f−π4，f1，fπ3的大小关系  A.f−π4>f1>fπ3B.fπ3>f1>f−π4C.f1>fπ3>f−π4D.fπ3>f−π4>f1第9页（共9页）11.设函数y=fnx在0,+∞内有定义，对于给

4、定的正数K，定义函数fKx=fx,fx≤KK,fx>K，取函数fx=lnx+1ex，恒有fKx=fx，则  A.K的最大值为1eB.K的最小值为1eC.K的最大值为2D.K的最小值为212.已知点Px,y在单位圆x2+y2=1上，点A2,0，那么OP⋅AP的取值范围是  A.−1,3B.−3,1C.−2,2D.−3,2二、填空题（共4小题；共20分）13.已知复数z=3+i1−3i2，则∣z∣= ．14.已知函数fx的导函数为fʹx，且fx=2xfʹ1+lnx，则fʹ1= ．15.定积分∫012+1−x2dx= ．16.若函数fx=x2−12lnx+1在其定义域内的一个子区间a−1,a+1内存

5、在极值，则实数a的取值范围 ．三、解答题（共6小题；共78分）17.（1）已知：a>0，求证：a+5−a+3>a+6−a+4；（2）设x，y都是正数，且x+y>2，试用反证法证明：1+xy<2和1+yx<2中至少有一个成立．18.已知y=fx是二次函数，方程fx=0有两相等实根，且fʹx=2x+2．（1）求fx的解析式．（2）求函数y=fx与y=−x2−4x+1所围成的图形的面积．19.已知函数fx=ax3+bx2，当x=1时，fx取得的极值−3．（1）求函数fx的单调区间；（2）若对于任意x>0，不等式fx+2m2−m≥0恒成立，求实数m的取值范围．20.当n∈N*时，Sn=1−12+13−

6、14+⋯+12n−1−12n，Tn=1n+1+1n+2+1n+3+⋯+12n．（1）求S1，S2，T1，T2；（2）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．21.已知函数fx=x2−2ax+2ex．（1）函数fx在x=0处的切线方程为2x+y+b=0，求a，b的值；（2）当a>0时，若曲线y=fx上存在三条斜率为k的切线，求实数k的取值范围．22.已知函数fx=ax−1−lnxa∈R．（1）讨论函数fx在定义域内的极值点的个数；（2）若函数fx在x=1处取得极值，对∀x∈0,+∞，fx≥bx−2恒成立，求实数b的取值范围；（3）当0

7、大小．第9页（共9页）第9页（共9页）答案第一部分1.C【解析】复数z=1+bi2+i=1+bi2−i2+i2−i=2+b+2b−1i5，复数z=1+bi2+i（b∈R，i是虚数单位）是纯虚数，2+b=0，2b−1≠0，解得，b=−2，所以z=−i．2.C【解析】因为直线y=4x−1的斜率为4，且切线平行于直线y=4x−1，所以函数在p0处的切线斜率k=4，即fʹx=4．因为函数的导数为fʹx=3