2015年吉林实验中学高二理科下学期数学期中考试试卷

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1、2015年吉林实验中学高二理科下学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.由数列1，10，100，1000，⋯⋯猜测该数列的第n项可能是  A.10nB.11nC.10n−1D.10n+12.复数1+3i3−i等于  A.iB.−iC.3+iD.3−i3.当n=1,2,3,4,5,6时，比较2n和n2的大小并猜想  A.n≥1时，2n>n2B.n≥3时，2n>n2C.n≥4时，2n>n2D.n≥5时，2n>n24.已知函数y=fx在定义域内可导，则函数y=fx在某点处的导数值为0是函数y=fx在这点处取得极值的  A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分

2、非必要条件5.设a，b，c都是正数，则a+1b，b+1c，c+1a这三个数  A.都大于2B.都小于2C.至少有一个大于2D.至少有一个不小于26.方程x3−6x2+9x−10=0的实根个数是  A.3B.2C.1D.07.已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，−2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为  A.1B.3C.−4D.−88.如下图是函数fx=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=  A.23B.109C.89D.2899.用数学归纳法证明1+12+13+⋯+12n−11时，在证明过程的第二步从n=k到

3、n=k+1时，左边增加的项数是  A.2kB.2k−1C.2k−1D.2k+1第6页（共6页）10.设fx，gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，fʹxgx+fxgʹx>0，且g−3=0，则不等式fxgx<0的解集是  A.−3,0∪3,+∞B.−3,0∪0,3C.−∞,−3∪3,+∞D.−∞,−3∪,0,311.若点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线y=x−2的最小距离是  A.1B.2C.22D.312.设函数fx在R上可导，其导函数为fʹx，且函数y=1−xfʹx的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是______．A.函数fx有极大值f2和极小值f1B.

4、函数fx有极大值f−2和极小值f1C.函数fx有极大值f2和极小值f−2D.函数fx有极大值f−2和极小值f2二、填空题（共4小题；共20分）13.函数y=x3+x2−5x−5的单调递增区间是______．14.若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=12ra+b+c，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则此四面体的体积V=______．15.定积分∫−4416−x2−xd!x=______．16.函数fx的定义域为R，f−1=2，对任意x∈R，fʹx>2，则fx>2x+4的解集为______．三、解答题（共6

5、小题；共78分）17.实数a分别取什么值时，复数z=a2−a−6a+3+a2−2a−15i（i为虚数单位）是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．18.椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0有如下命题：AB是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM⋅kAB=−b2a2为定值．那么对于双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0则有命题：AB是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则第6页（共6页）kOM⋅kAB=定值______．（在横线上填上正确的

6、结论）并证明你的结论．19.已知直线l与函数fx=lnx的图象相切于点1,0，且l与函数gx=12x2+mx+72m<0的图象也相切．（1）求直线l的方程及m的值；（2）若hx=fx+1−gʹx，求函数hx的最大值．20.数列an满足Sn=2n−ann∈N．（1）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．21.设函数fx=ax+xlnx，gx=x3−x2−3．（1）若存在x1,x2∈0,2，使得gx1−gx2≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；（2）如果对任意的s,t∈12,2，都有fs≥gt成立，求实数a的取值范围．22.已知函数fx=

7、lnx+mx2m∈R．（1）求函数fx的单调区间；（2）若m=0，Aa,fa，Bb,fb是函数fx图象上不同的两点，且a>b>0，fʹx为fx的导函数，求证：fʹa+b2