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1、2012年北京海淀高考二模数学（文）一、选择题（共8小题；共40分）1.函数y=−x2+1，−1≤x<2的值域是______A.−3,0B.−3,1C.0,1D.1,52.已知命题p：∃n∈N,2n＞1000,则¬p为 A.∀n∈N,2n≤1000B.∀n∈N,2n>1000C.∃n∈N,2n≤1000D.∃n∈N,2n<10003.sin−150∘的值为______A.−12B.12C.−32D.324.执行如图所示的程序框图，若输入x的值为10，则输出的x值为______A.4B.2C.1D.05.已知平面α，β和直线m，且m⊂
2、α，则“α∥β”是“m∥β”的______A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.为了得到函数y=log2x−1的图象，可将函数y=log2x的图象上所有的点的______A.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度7.某几何体的三视图如图所示，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂
3、直，则该几何体的体积是______第6页（共6页）A.203B.43C.6D.48.点Px,y是曲线C：y=1xx>0上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①PA=PB；②△OAB的面积为定值；③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是______A.1B.2C.3D.0二、填空题（共6小题；共30分）9.复数z=1+ii3，则z=______．10.已知双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程是y=±2x，那么此双曲线的离心率为______．1
4、1.在△ABC中，若∠A=120∘，c=5，△ABC的面积为53，则a=______．12.在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于14的概率是______．13.某同学为研究函数fx=1+x2+1+1−x20≤x≤1的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，AP+PF=fx．请你参考这些信息，推知函数fx的极值点是______；函数fx的值域是______．14.已知定点M0,2，N−2,0，直线l：kx−y−2k+2=0（k为常数）．若点M，N
5、到直线l的距离相等，则实数k的值是______；对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，则实数k的取值范围是______．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d≠0，S5=4a3+6，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列an的通项公式；（2）求数列1Sn的前n项和公式．16.在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．第6页（共6页）（1）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的
6、概率；（2）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．17.在正方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ中，棱AB，BBʹ，BʹCʹ，CʹDʹ的中点分别是E，F，G，H，如图所示．（1）求证：ADʹ∥平面EFG；（2）求证：AʹC⊥平面EFG；（3）判断点A，Dʹ，H，F是否共面?并说明理由．18.已知函数fx=x+ax2+3a2（a≠0，a∈R）．（1）求函数fx的单调区间；（2）当a=1时，若对任意x1,x2∈−3,1，有fx1−fx2≤m成立，求实数m的最小值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，且点
7、−1,22在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点Q54,0，动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A，B两点，证明：QA⋅QB为定值．20.将一个正整数n表示为a1+a2+⋯+app∈N*的形式，其中ai∈N*，i=1,2,⋯,p，且a1≤a2≤⋯≤ap，记所有这样的表示法的种数为fn（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f4=5）．（1）写出f3，f5的值，并说明理由；（2）证明：fn+1−fn≥1（n=1,2,⋯）；（3）对任意正整数n，比较fn+1与12fn+fn+2的大小，并给出证
8、明．第6页（共6页）答案第一部分1.B2.A3.A4.A5.C6.A7.A8.C第二部分9.210.511.6112.1213.x=12；5,2+114.1或13；−∞,−17∪1,+∞第三部分15.（1）因为S5=4a
