2010年北京海淀区高考一模试题：数学（文）

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1、2010年北京海淀区高考一模试题：数学（文）一、选择题（共5小题；共25分）1.sin75∘cos30∘−cos75∘sin30∘的值为______A.1B.12C.22D.322.对于非零向量a，b，“a+b=0”是“a∥b”的______A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.在同一坐标系中画出函数y=logax，y=ax，y=x+a的图象，可能正确的是______A.B.C.D.4.一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为______A.63B.8C.83D.125.给出下列四个命题：①若集合A、B满足

2、A∩B=A，则A⊆B；②给定命题p、q，若"p∨q"为真，则"p∧q"为真；③设a,b,m∈R，若a

3、名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6∼8小时内的同学为______人．9.已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是______．三、选择题（共3小题；共15分）10.在复平面内，复数i1−i（i是虚数单位）对应的点位于______A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.已知等差数列an的前n项和为Sn，且满足S33−S22=1，则数列an的公差是______A.12B.1C.2D.312.直线2ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A，B两点（其中a,b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），

4、则点Pa,b与点0,1之间距离的最大值为______第7页（共7页）A.2+1B.2C.2D.2−1四、填空题（共2小题；共10分）13.若x>0，则y=x+4x的最小值是______．14.若点集A=x,y∣ x2+y2≤1,B=x,y∣−1≤x≤1,−1≤y≤1．则1点集P=x,y ∣ x=x1+1,y=y1+1.x1,y1∈A所表示的区域的面积为______；2点集M=x,y x=x1+x2,y=y1+y2,x1,y1∈A,x2,y2∈B所表示的区域的面积为______．五、解答题（共4小题；共52分）15.已知函数fx=Asinωx+φ，x∈R（其中A>0，ω>0，−π2

5、<φ<π2），其部分图象如图所示．（1）求fx的解析式；（2）求函数gx=fx+π4⋅fx−π4在区间0,π2上的最大值及相应的x值．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60∘，PA⊥ 平面 ABCD，点M，N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2．（1）证明：BC⊥ 平面 AMN；（2）求三棱锥N−AMC的体积；（3）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面 ACE?若存在，求出PE的长；若不存在，说明理由．17.已知函数fx=x2−1与函数gx=alnxa≠0．（1）若fx,gx的图象在点1,0处有公共的切线，求实数a的值；（2）设Fx=fx

6、−2gx，求函数Fx的极值．18.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为12，且点1,32在该椭圆上．第7页（共7页）（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点，若△AOB的面积为627，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．第7页（共7页）答案第一部分1.C2.A3.D4.A5.B第二部分6.y2=8x7.68.309.12第三部分10.A11.C12.A第四部分13.414.1π；212+π第五部分15.（1）由图可知，A=1，T4=π2，所以T=2π，ω=1．又fπ4=sinπ4+φ=1,且−π2<φ<π2,所以φ=π4

7、，所以fx=sinx+π4.      （2）由（1）fx=sinx+π4，所以gx=fx+π4⋅fx−π4=sinx+π4+π4⋅sinx−π4+π4=sinx+π2sinx=cosx⋅sinx=12sin2x因为x∈0,π2，所以2x∈0,π，sin2x∈0,1．故12sin2x∈0,12，当x=π4时，gx取得最大值12．16.（1）因为ABCD为菱形，∠ABC=60∘，所以△ABC为正三角形，又M为BC中点，所以BC⊥AM．因为PA⊥ 平面 ABCD，BC⊂ 平面 ABC