2010年北京海淀区高考一模试题：数学理

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1、海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（海淀·理科·题1）1．在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】C；，该复数对应的点位于第三象限．（海淀·理科·题2）2．在同一坐标系中画出函数，，的图象，可能正确的是（）【解析】D；在B、C、D三个选项中对应的，只有选项D的图象正确．（海淀·理科·题3）3．在四边形中，，且，则四边形（）A．矩形B．菱形C．直角

2、梯形D．等腰梯形【解析】B；∵即一组对边平行且相等，即对角线互相垂直；∴该四边形为菱形．（海淀·理科·题4）4．在平面直角坐标系中，点的直角坐标为．若以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以是（）A．B．C．D．【解析】C；易知，．（海淀·理科·题5）5．一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A．B．C．D．【解析】A；设该三棱柱底面边长为，高为，则左视图面积为．由三视图可得：，解得．于是为所求．（海淀·理科·题6）6．已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为（）A．或B．或C．D．

3、【解析】C；，解得．因此该等差数列的公差为．（海淀·理科·题7）7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（）A．B．C．D．【解析】A；∵，∴对应的．（海淀·理科·题8）8．已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：①数列具有性质；②数列具有性质；③若数列具有性质，则；④若数列具有性质，则．其中真命题有（）A．个B．个C．个D．个【解析】B；①∵，都不在数列中，∴数列不具有性质；②容易验证数列具有性质；③取，则在数列中，而数列中最小的数，因此；④由对②的分析可知，．由于，不在数列中，

4、因此必然在数列中．又，故，于是，等式成立．第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（海淀·理科·题9）9．某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这名同学中学习时间在到小时内的人数为．【解析】30；由，解得．于是在这名同学中学习时间在到小时内的人数为．（海淀·理科·题10）10．如图，为的直径，且，为的中点，过作的弦，且，则弦的长度为．【解析】7；由得．由已知和相交弦定理得，解得．于是．（海淀·理科·题11）11．给定下列四个命题：①

5、“”是“”的充分不必要条件；②若“”为真，则“”为真；③若，则；④若集合，则．其中为真命题的是（填上所有正确命题的序号）．【解析】①，④；（海淀·理科·题12）12．在二项式的展开式中，的系数是，则实数的值为．【解析】1；由二项式定理，．当时，，于是的系数为，从而．（海淀·理科·题13）13．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是．【解析】；如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为，双曲线的半实轴长，半

6、焦距分别为，，则，问题转化为已知，求的取值范围．设，则，．∵，∴，即．（海淀·理科·题14）14．在平面直角坐标系中，点集，，则（1）点集所表示的区域的面积为_____；（2）点集所表示的区域的面积为．【解析】；．；（1）如左图所示，点集是以为圆心为半径的圆，其表示区域的面积为；（2）如右图所示，点集是由三段圆弧以及连结它们的三条切线段围成的区域，其面积为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（海淀·理科·题15）15．（本小题满分13分）已知函数的图象如图所示．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求函数的

7、单调递增区间．【解析】（Ⅰ）由图可知，，又由得，又，得∵，∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：因为所以，，即．故函数的单调增区间为．（海淀·理科·题16）16．（本小题满分13分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在区域返券元；停在区域返券元；停在区域不返券．例如：消费元，可转动转盘次，所获得的返券金额是两次金额之和．（Ⅰ）若某位顾客消费元，求返券金额不低于元的概率；（Ⅱ）若某位顾客恰好消费元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（

8、元）．求随机变量的分布列和数学期望．【解析】设指针落在、、区域分别记为事件、、．则，，．（Ⅰ）若返券金额不低于元，则指针落在或区域．∵即消费元的顾客，返券金额不低于元的概率是．（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转