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1、课时提升作业三三个正数的算术-几何平均不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.函数y=x2·(1-5x)的最大值为 ( )A. B. C. D.【解析】选A.因为0≤x≤,所以1-5x≥0,所以y=x2·(1-5x)=≤=.当且仅当x=1-5x,即x=时取“=”.2.设a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,则++的最小值为 ( )A.9B.12C.6-2D.6+4【解析】选D.因为a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,所以++=(a+2b+c)=4++++++≥4+2+2+2=6+4,当且仅当a=c=b时等号成立.所以++的最小值是6+
2、4.3.(2016·商丘高二检测)若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为 ( )A.-1B.+1C.2+2D.2-2【解析】选D.因为a(a+b+c)+bc=4-2即(a+b)(a+c)=4-2,又a,b,c>0所以(a+b)(a+c)≤=所以2a+b+c≥2-2.二、填空题(每小题6分,共12分)4.已知a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1,则++的最小值为________.【解析】因为a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1,所以++=(a+2b+3c)·≥3·3=9,当且仅当a=2b=3c=时取等号.因此++的最小
3、值为9.答案:95.(2016·唐山高二检测)已知x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值为________.【解析】因为x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6,所以6=x+3y+4z=++y+y+y+4z≥6·,所以x2y3z≤1.答案:1三、解答题(每小题10分,共30分)6.若a,b,c>0,求证:a2+b2+c2+≥6.【证明】因为a,b,c>0,所以a2+b2+c2≥3· ①又++≥3·,所以≥9· ②a2+b2+c2+≥3·+9·≥2·=6,当且仅当a=b=c时等号成立.7.(2016·哈尔滨高二检测)设正实数x,y,z满足x+2y+
4、z=1,求+的最小值.【解析】因为正实数x,y,z满足x+2y+z=1,所以+=+=1++≥1+2=7,当且仅当=,即x+y=,y+z=时,取等号.所以+的最小值为7.8.已知实数a,b,c∈R,a+b+c=1,求4a+4b+的最小值,并求出取最小值时a,b,c的值.【解析】由平均不等式,得4a+4b+≥3=3(当且仅当a=b=c2时等号成立).因为a+b+c=1,所以a+b=1-c,则a+b+c2=c2-c+1=+,当c=时,a+b+c2取得最小值.从而当a=b=,c=时,4a+4b+取最小值,最小值为3.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·温州高二
5、检测)若logxy=-2,则x+y的最小值是 ( )A.B.C.D.【解析】选A.因为logxy=-2,所以x>0且x≠1,y>0,且y=x-2,所以x+y=++≥3=,当且仅当=,即x=时等号成立.2.如果圆柱的轴截面周长l为定值,那么圆柱的体积最大值是 ( )【解析】选A.设圆柱的底面半径为r,高为h,则l=4r+2h,即2r+h=,V=πr2h≤π=π.当且仅当r=h=时等号成立.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知00,则x2(1-2x)=x·x(1-2x)≤
6、==.当且仅当x=1-2x,即x=时等号成立.故x2(1-2x)的最大值为.答案:【拓展延伸】用平均不等式求最值(1)利用平均不等式求函数的最值必须同时具备“一正、二定、三相等”这三个条件才能应用,否则会求出错误结果.(2)在具体问题中,“正数”这个条件一般由已知条件容易获得,“相等”条件也容易验证确定,而获得“定值”条件往往被设计为一个难点,它需要一定的灵活性和变形能力.(3)“定值”条件是运用不等式求最值的关键,解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项,创造应用平均不等式的情境及能使等号成立的条件.(4)当连续应用不等式时,要注意各不等式取等号时条件是否一致,否则
7、也不能求出最值.4.(2016·天津高二检测)已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为________.【解析】2x+=(x-a)+(x-a)++2a因为x-a>0,所以2x+≥3+2a=3+2a.当且仅当x-a=,即x=a+1时,取等号.所以2x+的最小值为3+2a,由题意可得3+2a≥7,解得a≥2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知a,b,c同号,且互不相等,a+b+c=1,求证:++>9.【证明】++=++=3++++++,因为a,b,c同号,且a+b+c=1,所以a>0,b>0,c>0,所以,,,,,
