2017年河北省衡水中学高三（上）五调数学试卷（文科）（解析版）

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2016-2017学年河北省衡水中学高三(上)五调数学试卷(文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|20内的任意一点，当该区域的面a^x^a+l(&>0) A.6B.3C.2D.18・已知实数a<0,函数f(x)二X<1,若f(1-a)2f(l+a),则实数a的取值范围是()A.(一o°,-2]B.[-2,・1]C.[・1,0)D.(-0)9.《九章算术》是我国数学史上堪与欧几里得《几何原本》相媲美的数学名著.其第五卷《商功》中有如下问题：〃今有圆躱境，周四丈八尺，高一丈一•尺，问积几何？〃这里所说的圆堰境就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺,问它的体积是多少？若II取3,估算该圆姝境的体积为()A.1998立方尺B.2012立方尺C.2112立方尺D.2324立方尺10.—个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为()A.24B.30C.48D.72211.若实数数列：-1,巧，a2,a3,成等比数列，贝U圆锥曲线X?丄=1的a2离心率是()A.y^VlOB.VI碱警C.警D.V1012.设函数y二f(x)的图象与y二2"的图彖关于直线y二x对称，且f(2)+f(4)二-1.，则()A.-IB・1C・2D・4二、填空题己知函数f(x)二ax'・2x的图象过点(-1,4)则a二.14.已知抛物线C：y2=4x,直线I与抛物线C交于A,B两点，若线段AB的中点 坐标为(2,2),则直线I的方程为_・14.若Iog4(3a+4b)=log2Vab，贝ija+b的最小值是・15.数列｛aj满足(an+i~1)(1-an)=3n,as=2»则S2017二三、解答题(本大题共5小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・)16.(12分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,眉asinB+bcosA=c.(I)求B；(II)若a二2，SaABC=2品,求b・17.(12分)已知等差数列｛aj的前三项为a-1,4,2a,记前n项和为Sn・(I)设Sk二2550,求a和k的值;s(II)设bn=—2-,求b3+b7+bii+...+b4n-i的值.18.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，ZBAD二60°,PA=PD=AD=2,点M在线段PC上，且PM=2MC,N为AD的中点.(1)求证：AD丄平面PNB；(2)若平面PAD丄平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积.19.(12分)已知抛物线Ci：y~4x的焦点F也是椭圆冷+分10>b>O)的一个焦点，C]与C2的公共弦长为2航，过点F的直线I与Ci相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点，jelac^bd同向.(1)求C2的方程；(2)若|AC|=|BD|,求直线I的斜率.20.(12分)设函数f(x)=emx+x2-mx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对于任意Xi，x2^[-1,1],都有f(xi)-f(x2)We-1,求m的取值范围・ ［选修4・4：坐标系与参数方程］14.(10分)已知曲线C的极坐标方程是p二2,以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为；爲3」为参数)(1)写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C经过伸缩变换x二x,1得到曲线U,设M(x,y)为C，上任意一yP点，求x2-V3xy+2y2的最小值，并求相应的点M的坐标.［选修4・5：不等式选讲］15.已知实数a>0,b>0,函数f(x)二|x-a|-|x+b|的最大值为3・(I)求a+b的值；(II)设函数g(x)=-x2-ax-b,若对于Vx^a均有g(x)|a-b|-/6两边平方，利用聞相减即得结论.【解答】解：T|n+b|n-b|二后，(:+E)2=10,-b)J6,两者相减得：4；•&4,—>―>••aefcF1，故选：A.【点评】本题考查向量数量积运算，注意解题方法的积累，属于基础题.5.要得到函数y二sin(4x-£~)的图象，只需将函数y=sin4x的图象()TTA.向左平移刍单位B.向右平移令单位兀C.向左平移今单位兀D.向右平移-才单位【考点】函数y=Asin(u)x+4))的图象变换.【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可. Hjr【解答】解：因为函数y二sin（4x-■丁）=sin14（x-,要得到函数y二sin（4x■今）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移需单位.故选：B.【点评】木题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点.6.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A.13B.11C.9D.7【考点】程序框图.【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S,i的值，满足条件S<1,退出循环，输出i的值.【解答】解：执行程序框图，有S二2+lg寺>1,i=3S二2+lg»lg#>：L,i=5S=2+lg-|r4-lg-|+lg-|>l,i=7S=2+lg^lg-|+|g|+|gl>i,j=9S二2+也寺血言+1岭+lg#Hgy¥V1,退出循环，输出i的值为9.故选C.【点评】木题主要考查了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查. (x-y^O7.已知P(x,y)为平面区域x+y>0内的任意一点，当该区域的面l^a^x^a+l(&>0)积为3时，z=2x-y的最大值是()A.6B.3C.2D.1【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为3的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求岀最优解的坐标，代入目标函数得答案.【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A(a,a),D(a,a),B(a+1,a+1),C(a+1,-a・1)由该区域的面积为3时，2-|a+2-Xl=3,得al数a的取值范围是() A.(一8,—2]B・[一2,-1]C・[-1,0)D.(-8,0)【考点】函数的值.【分析】根据条件判断1-a和Ha的范围，结合分段函数的表达式进行转化求解即可.【解答】解:Va<0,贝!1l-a>l,l+a0.b亏雪>0,解得a>4.于是a+b二a七二才4+弋+7,再利用基本不等式的性质即可得出.a-4a-4【解答】解:Vlog4(3a+4b)=log2Vab，/.lo?2^a+4b=loS2Vab,/.3a+4b=ab,a,b>0.・：b二>0，解得a>4.a+b二a+去f-4+占+7M7+2^(U^=7+4V5，当且仅当a二4+2、用吋取等号.•'•a+b的最小值是7+4,3-故答案为：7+4^3・【点评】本题考查了对数的运算性质、基本不等式的性质，考查了计算能力，属 于基础题. 16.数列｛aj满足(an^i-1)则S2O17=学【考点】数列的求和.(1-a7)=a7f解得a?今,同理可得a6=-■1,*5=2,・・・，31=—・可得巧-3二冇・S2017二a^+672(亦+巧+盹)・【分析】(ami-1)(1-an)=an,a8=2,/.(2-1)【解答】解:V(an.!-l)(l-an)=an,a8=2,・：(2-1)(1-a?)=a7，解得巧二寺，I口J理口」得a6二-1,玄5二2,…，・：an+3二冇・139017则S2017二冇+672(a6+a7+a8)=-^672故答案为：警.【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题(本大题共5小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・)17.(12分)(2016*唐山三模)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,V3asinB+bcosA二c.(I)求B；(II)若a二2/5c,Smbc二2佃，求b.【考点】正弦定理；余弦定理.【分析】(I)由正弦定理化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；(II)根据条件和三角形的面积公式求出c、a,再由余弦定理求出b.【解答】解：(I)由题意得,V3asinB+bcosA=c,由正弦定理得y^sinAsinB+sinBcosA二sinC所以V^inAsinB+sinBcosA=sin(A+B),即V3sinAsinB=sinAcosB, 由sinAHO得，a/3sinB=cosB,则tanB=-^-»乂0・：（a-1）+2a=8,即a=3.（2分）••a^—2jd—821a】二2.由Sk二ka】+Uk；l）岀得（4分）即k2+k-2550=0.解得k二50或k=-51（舍去）.2k+k（k-l）-~X2=2550•a=3,k=50.（6分）（II）由Sn=na】+述蔦1旭,得Sn=2n+nl，n71-X2=n2+n（8分）s/.bn=—=n+l（9分） n则b3+b7+bii+・..+b4n-1二(3+1)+(7+1)+(11+1)+...+(4n-1+1)=(3+7+ll+...+4n-1)+n(3+4门-1)nb3+b7+bn+...+b4n-i=2n2+2n（12分）【点评】本题主要考查等差数列的通项公式及前n和公式，考查基本运算.17.（12分）（2015・南宁二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，ZBAD=60°,PA=PD=AD=2,点M在线段PC上，且PM=2MC,N为AD的中点.（1）求证：AD丄平面PNB；（2）若平面PAD丄平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定.【分析】（1）由N为AD的中点及PA=PD可得PN丄AD,在底面菱形中结合已知条件证得AD丄BN,然后由线面垂直的判断得到AD丄平面PNB；（2）由平而PAD丄平而ABCD结合而而垂直的性质得到PN丄NB,再由已知求得PN=NB=V3,把三棱锥P-NBM的体积转化为"I倍的三棱锥C-PNB的体积求解.【解答】（1）证明：如图，VPA=PD,N为AD的中点,・・・PN丄AD•・•底面ABCD为菱形，ZBAD=60°,.・.BN丄AD•.•PNQBN二N,AAD丄平面PNB（2）解：・.•平面PAD丄平面ABCD,平面PADQ平面ABCD=AD,PN1AD,・・・PN丄平面ABCD, VPN1NB,PA=PD=AD=2,.・・PN=NB=x/3，点到P平而ABCD的距离为価.1Q••SAPliBZ：V%寸3XVI二寿.TAD丄平面PNB,AD/7BC,・・.BC丄平面PNB・OO11Opm=2mc,/.二％-pnb^y^c-PNB=yxyxy33XV3x2=y.【点评】本小题主要考查空间线面关系、儿何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想彖能力、推理论证能力和运算求解能力,是屮档题.17.(12分)(2016秋•桃城区校级月考)己知抛物线Cl：y2=4x的焦点F也是22椭圆冷+◎二lQ>b>0)的一个焦点，G与C2的公共弦长为2頁，过点Fab的直线I与Cl相交于A,B两点，与C2相交于C,D两点，且疋与瓦同向.(1)求C2的方程；(2)若|AC|=|BD|,求直线I的斜率.【考点】统筹图的关键路求法及其重要性；直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)求岀抛物线的焦点坐标，利用已知条件列出方程组，求出椭圆的几何量即可得到椭圆方程.(2)设A(X1，yx),B(X2，丫2)，c(X3，丫3)，D(x4,y4),AB=CD,设直线y=k(x-l)I的斜率为k,则I的方程为y=k(x-1),联立2，利用韦达定理求出、y二4x'y=k(x-l)AB,由x2y2求出CD,然后求解直线的斜率.t98 【解答】（本题满分12分）解：（1）由y2=4x^0其焦点F的坐标为（1,0）,因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2-b2©；又G与C2的公共弦长为2后，C1与C2都关于x轴对称,且C］的方程为y2=4x，由此易知Ci与C2的公共点的坐标为（寻,*忖②,联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为c?：专+詈二1・^98(2)如图，设A(xi，yi),B(X2，y2),C(X3,y3),D(x4,y4),因疋与瓦同向，月」AC|=|BD|知AB二CD,设直线I的斜率为k,贝01的方程为y=k(x・1),fy=k(x-l)由｛2得啓2・(2k2+4)x+k2=0,由Xi，X2是这个方程的两根，[y-4xX[+x2=2k；+4,从而AB=2k^~4+2,k2k2y=k(x-l)由)x?y2得＜8+9k2)x2・18k2x+9k2・72二0,而X3,是这个方程的两根,-±-+2—二1[98,_18k2门处川‘118k2_48(l+k2)X3+X4—9y从丨flJCD-6~"Z—q,8+9k，38+9k28+9k2由AB=CD得：3k2=8,解得k二土寧，即直线I的斜率为土冬.JJ7/Dx■■旦丿■/7C为•【点评】本题考查抛物线与椭圆的位置关系，肓线与椭圆以及抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力. 17.(12分)(2016秋•桃城区校级月考)设函数f(x)=emx+x2-mx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对于任意Xi，x2^[-1,1],都有f(xi)-f(x2)We-1,求m的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题屮的应用.【分析】(1)求出函数的导数，通过m的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间.(2)利用函数的单调性，判断函数的极值，转化对于任意X1,x2e[-i,1],都有f(xi)・f(X2)We-l,得到不等式组，即可求解m的范围.【解答】(本题满分12分)解：(1)函数f(x)=emx+x2-mx,可得f‘(x)=m(emx-1)+2x.若m$0,则当xe(-8,o)时，emx-1W0,f‘(x)<0；当xW(0,+8)时，emx-1^0,f(x)>0.若m<0,则当xe(・oo,0)时，emx-l>0,f'(x)<0；当xG(0,+8)时，emx-KO,f(x)>0.所以，f(x)在(-8,0)时单调递减，在(0,+8)单调递增.(2)由(1)矢口，对任意的m,f(x)在[-1,0]单调递减，在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意X1,X2G[・1,1],|f(xi)-f(X2)的要条件是ff(l)-f(O)弋-1,ce所以x()e(-2,-1),{-xn综上，m的取值范围为1]. 【点评】本题考查导数与函数的单调性的判断单调区间的求法，考查分析问题解决问题的能力、转化思想以及分类讨论思想的应用.［选修4・4：坐标系与参数方程］17.(10分)(2016>洛阳模拟)已知曲线C的极坐标方程是p=2,以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为｛語;:仁为参数)(1)写出直线L的普通方程与Q曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C经过伸缩变换x二x,1得到曲线U,设M(x,y)为U上任意一yP点，求“-J5/3xy+2y^的最小值为1.【点评】本题主要考查了极坐标方程，参数方程化直角坐标方程，以及椭圆的参 数方程在求最值上的应用和三角函数求出最值，同时考查了运算求解的能力，属于中档题.［选修4・5：不等式选讲］17.(2016*江西模拟)已知实数a>0,b>0,函数f(x)二|x・a|・|x+b|的最大值为3.(I)求a+b的值;(II)设函数g(x)=-x2-ax-b,若对于Vx^a均有g(x)0在［a,+00)恒成立，结合函数的单调性求出a的范围即可.【解答】解：(I)f(x)=|x-a|-|x+b|<|x-a-x-b|=|a+b|=3,Va>0,b>0,Aa+b=3；(II)由(I)得•，00,此时，f(x)=x-a-x-b=-3,若对于Vx^a均有g(x)0在［a,+8)恒成立,即x2+ax-a>0在［a,+°°)恒成立,对称轴x=--|<0,故只需a2+a2-a>0即可，解得：a>y,故寺Va<3.【点评】木题考查了绝对值的性质，考查绝对值不等式的解法以及函数恒成立问题，考查二次函数的性质，是一道中档题.