高中数学 第一章 坐标系 三 1 圆的极坐标方程教学案 新人教a版选修4-4

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1、1．圆的极坐标方程　　　　　　　　　　　　1．曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式．③将列出的关系式整理、化简．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)圆心在C(a,0)(a＞0)，半径为a的圆

2、的极坐标方程为ρ＝2acos_θ.(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r.(3)圆心在点(a，)处且过极点的圆的方程为ρ＝2asinθ(0≤θ≤π)．　　　　　　　　　　　　圆的极坐标方程[例1]　求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．[思路点拨]　结合圆的定义求其极坐标方程．[解]　在圆周上任取一点P(如图)设其极坐标为(ρ，θ)．由余弦定理知：CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心

3、和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。故其极坐标方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cosθ，若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cosθ＝2rcosθ，若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．1．求圆心在C，半径为1的圆的极坐标方程．解：设圆C上任意一点的极坐标为M(ρ，θ)，如图，在△OCM中，由余弦定理，得

4、OM

5、2＋

6、OC

7、

8、2－2

9、OM

10、·

11、OC

12、·cos∠COM＝

13、CM

14、2，即ρ2－2ρcos＋1＝0.当O，C，M三点共线时，点M的极坐标也适合上式，所以圆的极坐标方程为ρ2－2ρcos＋1＝0.2．求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程．解：设M(ρ，θ)为圆上除O、B外的任意一点，连结OM、MB，则有OB＝4，OM＝ρ，∠MOB＝θ－π.∠BMO＝90°，从而△BOM为直角三角形．∴有

15、OM

16、＝

17、OB

18、cos∠MOB即ρ＝4cos＝－4sinθ.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是

19、对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。极坐标方程与直角坐标方程的互化[例2]　进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：(1)y2＝4x；(2)x2＋y2－2x－1＝0；(3)ρ＝.[思路点拨]　将方程的互化转化为点的互化：[解]　(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ.化简，得ρsin2θ＝4cosθ.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsinθ)2＋(ρcosθ)2－2ρcosθ－1＝0，化简

20、，得ρ2－2ρcosθ－1＝0.(3)∵ρ＝，∴2ρ－ρcosθ＝1.∴2－x＝1.化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.在进行两种坐标方程间的互化时，要注意：(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极

21、点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形．3．把下列直角坐标方程化为极坐标方程．(1)y＝x；(2)x2－y2＝1.解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y＝x非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。得ρsinθ＝ρcosθ，从而θ＝.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2－y2＝1，得ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化简，得ρ2＝.4．把下列极坐标方程化为直角坐标

22、方程．(1)ρ2cos2θ＝1；(2)ρ＝2cos(θ－)．解：(1)因为ρ2cos2θ＝1，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1.所以化为直角坐标方程为x2－y2＝1.(2)因为ρ＝2cosθcos＋2sinθsin＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.所以化为直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.　　　　　　　　　　　　一、选择题1．极坐标方程ρ＝1表示(　　)