高中数学 第一章 坐标系 1_4 圆的极坐标方程学案 新人教b版选修4-4

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1、1.4圆的极坐标方程[读教材·填要点]圆的极坐标方程(1)圆心在极轴上的点(a,0)处，且圆过极点O，则圆的极坐标方程为ρ＝2acosθ，－≤θ≤.(2)圆心在点处，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2asin_θ，0≤θ≤π.[小问题·大思维]相等的圆在同一极坐标中，极坐标方程是否相同？提示：不一定．相等的圆只要在极坐标系中圆心的位置不同，极坐标方程就不一样．求圆的极坐标方程[例1]　求圆心在A，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．[思路点拨]　结合题意作出图形，设出动点M(ρ，θ)，根据条件建立ρ，θ的关系式化简可求．[精解详析]　如图，设M(ρ，θ)为圆上除O，B外的任意一点

2、，连接OM，MB，则有

3、OB

4、＝4，

5、OM

6、＝ρ，∠MOB＝θ－，∠BMO＝，从而△BOM为直角三角形，所以有

7、OM

8、＝

9、OB

10、cos∠MOB，即ρ＝4cos＝－4sinθ，非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sinθ，∴x2＋y2＝－4y，即x2＋(y＋2)2＝4为所求圆的直角坐标方程．(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法相同．(2)用代入法求极坐标方程，设出要求轨迹的点的极坐标和与之相关的点

11、的坐标，用相关点的坐标表示要求点的坐标，然后代入相关点坐标所满足的关系式即可求得要求点的轨迹方程．1．在极坐标系中，已知圆C的圆心为，半径为3，Q点在圆周上运动．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P是OQ的中点，求P的轨迹．解：(1)如图，设Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连接DQ，OQ，则

12、OD

13、＝6，∠DOQ＝－θ，或∠DOQ＝θ－，∠DQO＝.在Rt△ODQ中，

14、OQ

15、＝

16、OD

17、cos，即ρ＝6cos.(2)若P的极坐标为(ρ，θ)，则Q点的极坐标为(2ρ，θ)．∴2ρ＝6cos.所以ρ＝3cos.∴P的轨迹是圆．直线与圆的极坐标方程的应用[例2]　在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋si

18、nθ和直线l：ρsin＝非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[思路点拨]　本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐标方程的求法．解答本题需要先求出圆与直线的一般方程，然后化一般方程为极坐标方程即可．[精解详析]　(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0.直线l：ρsin＝，即ρsinθ－

19、ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后将直角坐标方程转化为极坐标方程即可．2．在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为(　　)A．2　　　　　　　　　　B．2C．4D．4解析：选D　直线ρsin＝2可化为x＋y－2＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得2＝2＝4.[对应学生用书P12]非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，

20、更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。一、选择题1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是(　　)A.　　　　　　　　　B.C．(1,0)D．(1，π)解析：选B　该圆的直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，故圆心的直角坐标为(0，－1)，化为极坐标为，故选B.2．极坐标方程ρ＝cos所表示的曲线是(　　)A．双曲线B．椭圆C．抛物线D．圆解析：选D　∵ρ＝cos＝cosθ＋sinθ，ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，∴x2＋y2＝x＋y，这个方程表示一个圆．3．在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sinθ，过点作曲线C的切线，则切线长为(　　)A．4

21、B.C．2D．2解析：选C　ρ＝4sinθ化为普通方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形．由勾股定理：切线长为＝2.4．点M，N分别是曲线ρsinθ＝2和ρ＝2cosθ上的动点，则

22、MN

23、的最小值是(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选A　ρsinθ＝2化为普通方程为y＝2，ρ＝2cosθ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0，非常感谢