注重一题多解，培养学生思维

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1、注重一题多解，培养学生思维　　【中图分类号】G633.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2015）10-0153-01　　空间几何的证明和计算是中学数学的重要组成部分，如果思路没打开，可能很简单的题也解决不了。现以下题为例来剖析空间几何的思路。　　如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE.　　（1）若AF是△ABE的中线，且AF=5，AE=6，连结DF，求DF的长；　　（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G.如图2，若点E是AC边的中点，连结EG，求证：AG+EG=B

2、E.　　一、边读题边得出所有结论，得到的结论信息越多，思路越开阔，同时思考计算结果或证明结果的得出需要哪些条件，再一一寻找，找到切合点，便轻松解决问题。例如上题中的第（1）题：　　二、注重一题多解，拓展学生思路。如证明两条线段的和等于第三条线段，常用方法：截长法或补短法，以第（2）小题为例　　方法1：（截长法）记AD、BE相交于O，如图2（a）　　∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC　　∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°　　∠2=90°-∠3　　∵AF为△ABE的高4　　∴∠1=90°-∠3　　∴∠1=∠2　　在△ABO和△CAG中∠2=

3、∠1AB=AC∠BAD=∠C　　∴△ABO≌△CAG.（ASA）　　∴BO=AG，AO=CG.　　∵点E为AC的中点　　∴AE=CE　　在△AOE和△CGE中AE=CE∠CAD=∠CAO=CG　　∴△CEG≌△AEO.（SAS）　　∴EG=OE.　　∴AG+EG=BO+OE=BE　　方法2：（截长法）记AD、BE相交于O，连结DE，如图2（b）　　先证△BDO≌△ADG.（ASA）　　∴BO=AG，DO=DG.　　再证△ODE≌△GDE.（SAS）　　∴EG=OE.　　∴AG+EG=BO+OE=BE　　方法3：（补短法，抓易证条件∠ABE=∠C

4、AG及已知条件AB=AC，利用“SAS”构造全等三角形）　　延长AG到点M，使AM=BE，连结CM，如图2（c）　　先证△ABE≌△CAM.（SAS）　　∴AE=CM=CE，∠ACM=∠BAE=90°.4　　再证△CEG≌△CMG.（SAS）　　∴EG=MG.　　∴AG+EG=AG+MG=AM=BE　　方法4：（补短法，抓易证条件∠ABE=∠CAG及已知条件AB=AC，利用“ASA”构造全等三角形）　　过点C作AC的垂线，交AG的延长线于点M，如图2（c）　　先证△ABE≌△CAM.（ASA）　　∴BE=AM，AE=CM=CE.　　再证△CEG

5、≌△CMG.（SAS）　　∴EG=MG.　　∴AG+EG=AG+MG=AM=BE　　方法5：（补短法，抓易证条件∠GAD=∠EBD及AD=BD，利用“SAS”构造全等三角形）　　延长AG到点M，使AM=BE，连结DM，如图2（d）　　先证△DBE≌△DAM.（SAS）　　∴DE=DM，∠BDE=∠ADM.　　再证△DEG≌△DMG.（SAS）　　∴EG=MG.　　∴AG+EG=AG+MG=AM=BE　　方法6：（补短法，抓易证条件∠GAD=∠EBD及AD=BD，利用“ASA”构造全等三角形）　　过点D作DE的垂线，交AG的延长线于点M，如图2（

6、d）4　　先证△DBE≌△DAM.（ASA）　　∴DE=DM，BE=AM.　　再证△DEG≌△DMG.（SAS）　　∴EG=MG.　　∴AG+EG=AG+MG=AM=BE　　一题多解有利于启迪思维，开阔视野，提高思维的敏捷性、灵活性和深刻性；有利于学生灵活运用所学知识，提高解题能力和技巧；有利于培养学生的探索精神和思维的创造性。4