高中数学 第一章 计数原理 1_5_2 二项式系数的性质及应用（一）优化训练 苏教版选修2-31

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1、1.5.2二项式系数的性质及应用（一）五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.如果(3x-)n的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是()A.7B.-7C.21D.-21答案:C解析：令x=1,得2n=128,∴n=7.从而Tr+1=37-r(-1)rx.令7-r=-3,得r=6,∴的系数为(-1)6·37-6=21.2.1112除以100的余数是()A.1B.10C.11D.21答案:D解析：1112=(10+1)12=1012+1011+…+102+10+1=100K+121(其中K=1010+109+…+),从而余数为21.3.设(1+x+

2、x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n等于()A.(3n+1)B.(3n-1)C.3n-1D.3n+1答案:A解析：令x=1,得a0+a1+a2+…+a2n=3n.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2n=1.故a0+a2+a4+…+a2n=(3n+1).4.(

3、x

4、++2)6的展开式中系数最大的项的系数是_______________.答案:924解析：(

5、x

6、++2)6=(+)12,∴系数最大的项的系数是=924.十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.已知(x-)8展开式中常数项为1120,其中实数

7、a是常数,则展开式中各项系数的和是()A.28B.38C.1或38D.1或28答案:C解析：Tr+1=x8-r(-)r=(-a)rx8-2r,当r=4时,(-a)4=1120.从而a=±2.当a=2时,(x-)8展开式中各项系数和为1;当a=-2时,(x+)8展开式中各项系数和为38.2.若(2x+)3=a0+a1x+a2x2+a3x3,则(a0+a2)2-(a1+a3)2的值为()A.-1B.1C.0D.2答案:A解析：取x=1,则(2+)3=a0+a1+a2+a3,取x=-1，则（-2)3=a0-a1+a2-a3,(a0+a2)2-(a1+a3)2=(

8、a0+a2+a1+a3)(a0+a2-a1-a3)=［(2+)·(-2)］3=-1.3.(x-y)7展开式中,系数绝对值最大的项是()A.第四项B.第四,五两项C.第五项D.第三,四两项答案:B解析：Tr+1=·xr·(-y)7-r,由二项式系数增减性知r=和r=时最大,即第4项和第5项.4.除以9的余数是()A.-2B.-1C.0D.7答案:D解析：因为=233-1=811-1=(9-1)11-1=911-910+·99-…+·9--1=9M-2=9(M-1)+7,M∈N*.5.设(1-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则

9、a0

10、+

11、a1

12、

13、+…+

14、a8

15、=______________-.答案:48解析：易知a0,a2,…,a8大于0,而a1，a3,…,a7小于0，故

16、a0

17、+

18、a1

19、+…+

20、a8

21、=a0-a1+a2-a3+…-a7+a8.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a7+a8=(1+3)8=48.6.已知(+)n展开式中奇数项二项式的系数和比(a+b)2n展开式中奇数项二项式的系数和少120,求第一个展开式中的第三项.解：在(a+b)n=an+an-1b+…+bn中,令a=b=1,得++…+=2n;又令a=1,b=-1,得-++…+(-1)n=0;两式相加得奇数项二项式系数和为

22、2n-1.由题设知2n-1=22n-1-120,所以(2n)2-2n-240=0,解之得2n=16或2n=-15(舍去),所以n=4,故所求第一个展开式中的第三项为T3=()·（）2=6.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.在(x-)2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x=时,S等于（）A.23008B.-23008C.23009D.-23009答案:B解析：Tr+1=x2006-r(-2)r,显然当2006-r为奇数时,r为奇数,所以当x=时,Tr+1=-()2006=-C21003.所以S=-21003(+…+)=-21003××

23、22006=-23008.2.在(1-x3)(1+x)10的展开式中，x5的系数是()A.-297B.-252C.297D.207答案:D解析：（1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,∴x5的系数为-=207，选D.3.设(+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值是()A.1B.-1C.0D.(-1)10答案:A解析：令x=1或-1,则a0+a1+a2+…+a10=(+1)10,a0-a1+a2-a3+…+a10=(-1)10,∴(a0+a2+a4+…

24、+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+