高中数学第一章计数原理1.5.2二项式系数的性质及应用学案苏教版选修2

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1、二项式系数的性质及应用1．掌握二项式定理展开式中系数的规律，明确二项式系数与各项系数的区别．(重点)2．借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性、增减性与最大值．(难点)[基础·初探]教材整理1　杨辉三角的特点阅读教材P33，完成下列问题．1．每一行中的二项式系数是“对称”的，即第1项与最后一项的二项式系数相等，第2项与倒数第2项的二项式系数相等，…….2．图中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和(如图151)．3．图中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大．4．第1行为1＝20，第2行的两数之和为2，第3行的三数之

2、和为22……第7行的各数之和为26(如图151)．图1511．如图152是一个类似杨辉三角的图形，则第n行的首尾两个数均为________．13　35　6　57　11　11　79　18　22　18　9图152【解析】　由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.【答案】　2n－12．如图153，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14与第15个数之比为2∶3.11　11　2　11　3　3　11　4　6　4　1……图153【解析】　设第n行从左到右第14与第15个数之比为2∶3，则3C＝2C，即＝，解

3、得n＝34.【答案】　34教材整理2　二项式系数的性质阅读教材P33～P34，完成下列问题．(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质：(1)C＝C；(2)C＋C＝C；(3)当r<时，C时，C

4、＋C＋…＋C＝2n＝32，所以n＝5.【答案】　53．(2016·山东高考)若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.【解析】　根据二项展开式的通项公式求解．Tr＋1＝C·(ax2)5－rr＝C·a5－rx10－r.令10－r＝5，解得r＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C·a3＝－80，解得a＝－2.【答案】　－2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]与“杨辉三角”有关的问题　如图154，在“杨辉三角”中斜线AB的上

5、方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．图154【精彩点拨】　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.【自主解答】　S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力

6、有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：[再练一题]1．(2016·镇江高二检测)如图155所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．图155【解析】　由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1＝.【答案】　46　求展开式的系数和　设(1－2x)2017＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2017·x2017(x∈R)．(1)求a0

7、＋a1＋a2＋…＋a2017的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2017的值；(3)求

8、a0

9、＋

10、a1

11、＋

12、a2

13、＋…＋

14、a2017

15、的值．【精彩点拨】　先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．【自主解答】　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2017＝(－1)2017＝－1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2017＝32017.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2017)＝－1－32017，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝.(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈

16、N*)，a2k＞0(k∈N*)．∴

17、a0

18、＋

19、a1

20、＋

21、a2

22、＋

23、a3

24、＋…＋

25、a2017

26、＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2017＝32017.1．解决二项式系数