高中数学第一章计数原理1.5.2二项式系数的性质及应用一学案苏教版选修

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1、1.5.2　二项式系数的性质及应用(一)学习目标　1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点　二项式系数的性质(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考1　从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？　　　思考2　计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？　　思考3　二项式系数的最大值有何规律？　　梳理　(1)二项式系数表的特点①在同一行中，每行两端都是________，与这两个1等距离的项的系数________．②每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两

2、个数的和．(2)二项式系数的性质一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质：①C＝________；②C＋C＝________；③当r＜时，C＜________；当r＞时，________＜C；④C＋C＋C＋…＋C＝________.类型一　与二项式系数表有关的问题例1　如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值．　　　　　反思与感悟　对杨辉三角形的规律注意观察，找出规律并用数学式正确表达出来，对数学式进行运算，得出正确结论．跟踪训练1　请观察下图

3、，并根据数表中前五行的数字所反映的规律，推算出第九行正中间的数应是________．类型二　求展开式的系数和例2　设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．(1)a0；(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2；(5)

4、a0

5、＋

6、a1

7、＋…＋

8、a100

9、.　　　　　　　　反思与感悟　二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常

10、用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.跟踪训练2　在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．　　1．在(2x＋)4的展开式中，各项的二项式系数的和为________．2．若(x＋3y)n的展开式中所有项的系数之和等于(7a＋b)10

11、的展开式的二项式系数之和，则n的值为________．3．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是________．4．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________．5．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________.用赋值法求多项式系数和求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．答案精析问题导学知识点思考1　在同一行中，每行两端都是1，与这

12、两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．思考2　2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.思考3　当n＝2,4,6时，中间一项最大，当n＝3,5时中间两项最大．梳理　(1)①1　相等　(2)①C②C　③C　C　④2n题型探究例1　解　由题意及杨辉三角的特点可得S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2＋3＋…9)＝C＋＝164.跟踪训练1　70例2　解　(1)令x＝0，则展开式为a0＝2100.(

13、2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，①∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.②与①联立相减，得a1＋a3＋…＋a99＝.(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1.(5)∵Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr，

14、∴a2k－1<0(k∈N