2018版高中数学第一章计数原理1.5.2二项式系数的性质及应用二学案苏教版选修2

《2018版高中数学第一章计数原理1.5.2二项式系数的性质及应用二学案苏教版选修2 》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.5.2　二项式系数的性质及应用(二)学习目标　1.进一步理解并掌握二项式系数的性质.2.能解决二项式系数的最大、最小问题.3.会解决整除问题．知识点　二项式系数的性质一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质：(1)C＝________.(2)C＋C＝________.(3)当r＜时，C＜________；当r＞时，________＜C.(4)C＋C＋C＋…＋C＝________.特别提醒：(1)当n为偶数时，二项式系数中，以最大；当n为奇数时，二项式系数中以和(两者相等)最大．(2)二项展开式中，偶数项的二项式系数的和与奇数项的二项式系数的和相等，即C＋C＋C＋…＝

2、C＋C＋…＝2n－1.类型一　二项式系数或系数最大项问题例1　(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．　　　　　反思与感悟　(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式组的方法求得．跟踪训练1　在(－)8的展开式中：(1)系数的绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项．　　　　　　类型二　利用二项式定理解决整除

3、问题例2　求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N*)能被25整除．　　　　　　　反思与感悟　利用二项式定理证明或判断整除问题，一般要进行合理变形，常用的变形方法就是拆数，往往是将幂底数写成两数的和，并且其中一个数是除数的因数，这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的倍数，进而可判断或证明被除数能否被除数整除，若不能整除则可求出余数．跟踪训练2　求证：5151－1能被7整除．　　　　　　　　　1．若(x3＋)n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为________．2．今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期________．3．设a∈Z，且0≤a＜13，若

4、512012＋a能被13整除，则a＝________.4．已知n展开式中的第5项是常数，则展开式中系数最大的项是第________项．5．已知(a＋b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝________.1．二项式系数的性质求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大的项的问题，可设第r＋1项的系数Tr＋1最大，则满足不等式由不等式组解出r的值．3．余数及整除问题(1)求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分，然后借助二项展开式进行分析．若最后一项是一个小于除数的正数，

5、则该数就是所求的余数；若是负数，则还要进行简单的加、减运算产生．(2)整除问题整除问题实际上就是判断余数是否为零，因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路．答案精析知识梳理知识点(1)C　(2)C　(3)C　C　(4)2n题型探究例1　解　T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26⇒n＝8.∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1120x4.设第r＋1项系数最大，则有解得5≤r≤6.∴r＝5或r＝6.∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.跟踪训练1　解　Tr＋1＝C·()8－r·()r＝(－1)r·C·2r·(r＝0,1

6、,2，…，8)．(1)设第r＋1项系数的绝对值最大，则∴解得5≤r≤6.又∵0≤r≤8，r∈N，∴r＝5或r＝6.故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项．(2)二项式系数最大的项为中间项，即第5项，T5＝C·24·x－6＝1120x－6.(3)由(1)知，展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，∴系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1792x－11.例2　证明　原式＝4·6n＋5n－4＝4·(5＋1)n＋5n－4＝4·(C·5n＋C·5n－1＋C·5n－2＋…＋C)＋5n－4＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52＋C·51)＋4C＋5n－4＝4

7、(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋20n＋4＋5n－4＝4(C·5n＋C·5n－1＋…＋C·52)＋25n.以上各项均为25的整数倍，故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除．跟踪训练2　证明　5151－1＝(49＋2)51－1＝C·4951＋C·4950·2＋…＋C·49·250＋C·251－1.易知除C·251－1以外各项都能被7整除．又C·251－1＝251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－