正文描述:《2018版高中数学 第一章 计数原理 1.5.2 二项式系数的性质及应用(二)学案 苏教版选修2-3》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.5.2 二项式系数的性质及应用(二)学习目标 1.进一步理解并掌握二项式系数的性质.2.能解决二项式系数的最大、最小问题.3.会解决整除问题.知识点 二项式系数的性质一般地,(a+b)n展开式的二项式系数C,C,…,C有如下性质:(1)C=________.(2)C+C=________.(3)当r<时,C<________;当r>时,________<C.(4)C+C+C+…+C=________.特别提醒:(1)当n为偶数时,二项式系数中,以最大;当n为奇数时,二项式系数中以和(两者相等)最大.(2)二项展开式中,偶数项的二项式系数的和与奇数项的二项式系数
2、的和相等,即C+C+C+…=C+C+…=2n-1.类型一 二项式系数或系数最大项问题例1 (1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 反思与感悟 (1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,当n为奇数时,中间两项的二项系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需根据各项系数的正、负变化情况,一般采用列不等式组,解不等式组的方法求得.跟踪训练1 在(-)8的展开式中:(1)系数的绝对值最大的项是第几项?(2)求二项式系数最大的项;(3)求
3、系数最大的项. 类型二 利用二项式定理解决整除问题例2 求证:2n+2·3n+5n-4(n∈N*)能被25整除. 反思与感悟 利用二项式定理证明或判断整除问题,一般要进行合理变形,常用的变形方法就是拆数,往往是将幂底数写成两数的和,并且其中一个数是除数的因数,这样能保证被除式展开后的大部分项含有除式的倍数,进而可判断或证明被除数能否被除数整除,若不能整除则可求出余数.跟踪训练2 求证:5151-1能被7整除. 1.若(x3+)n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大,则该展开式中的常数项为________.2.今天是星期一,
4、今天是第1天,那么第810天是星期________.3.设a∈Z,且0≤a<13,若512012+a能被13整除,则a=________.4.已知n展开式中的第5项是常数,则展开式中系数最大的项是第________项.5.已知(a+b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n=________.1.二项式系数的性质求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,n为奇数时,中间两项的二项式系数最大;n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.2.求展开式中系数最大的项的问题,可设第r+1项的系数Tr+1最大,则满足不等式由不等式组解出r的值.3.余数及整除问题(1)
5、求余数问题求余数的关键是将原数进行合理、科学的拆分,然后借助二项展开式进行分析.若最后一项是一个小于除数的正数,则该数就是所求的余数;若是负数,则还要进行简单的加、减运算产生.(2)整除问题整除问题实际上就是判断余数是否为零,因此求解整除问题可以借助于求余数问题展开思路.答案精析知识梳理知识点(1)C (2)C (3)C C (4)2n题型探究例1 解 T6=C(2x)5,T7=C(2x)6,依题意有C25=C26⇒n=8.∴(1+2x)8的展开式中,二项式系数最大的项为T5=C(2x)4=1120x4.设第r+1项系数最大,则有解得5≤r≤6.∴r=5或r=6.
6、∴系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6.跟踪训练1 解 Tr+1=C·()8-r·()r=(-1)r·C·2r·(r=0,1,2,…,8).(1)设第r+1项系数的绝对值最大,则∴解得5≤r≤6.又∵0≤r≤8,r∈N,∴r=5或r=6.故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.(2)二项式系数最大的项为中间项,即第5项,T5=C·24·x-6=1120x-6.(3)由(1)知,展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大,而第6项的系数为负,第7项的系数为正,∴系数最大的项为T7=C·26·x-11=1792x-11.例2 证明 原式=4·6n+5n-
7、4=4·(5+1)n+5n-4=4·(C·5n+C·5n-1+C·5n-2+…+C)+5n-4=4(C·5n+C·5n-1+…+C·52+C·51)+4C+5n-4=4(C·5n+C·5n-1+…+C·52)+20n+4+5n-4=4(C·5n+C·5n-1+…+C·52)+25n.以上各项均为25的整数倍,故2n+2·3n+5n-4能被25整除.跟踪训练2 证明 5151-1=(49+2)51-1=C·4951+C·4950·2+…+C·49·250+C·251-1.易知除C·251-1以外各项都能被7整除.又C·251-1=251-1=(23)17-1=(7+
8、1)17-
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