高中数学 1_2 任意角的三角函数教材梳理素材 苏教版必修41

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1、在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学1.2任意角的三角函数教材梳理素材苏教版必修4知识·巧学1.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数由初中所学可知锐角的三角函数是通过直角三角形定义的.但角的概念推广以后，用直角三角形定义一个角的三角函数就有了一定的局限性.在上一节的学习中我们在直角坐标系中研究了任意角.同样，我们也可以在直角坐标系中定义任意角的三角函数.联想发散初中学习的锐角三角函数是用直角三角形边的比值来定义的，受直角三角

2、形的约束，不能类似地定义任意角的三角函数.如果建立平面直角坐标系，就可用角的终边上点的坐标来定义任意角的三角函数，以进一步研究它的性质.对于一个任意角α，让其顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y).记P到原点的距离为r，则P与原点的距离r=(如图1-2-2).图1-2-2当α为锐角时，过P作PM⊥x轴于M，则三角形OMP为直角三角形，则由锐角三角函数的定义可得sinα=，cosα=，tanα=.此定义与初中所学的三角函数的定义实质相同.一般地，对任意α我们规定：①比值叫做α的正弦,记作sinα，即

3、sinα=；②比值叫做α的余弦,记作cosα，即cosα=；③比值叫做α的正切,记作tanα，即tanα=.此外，比值叫做α的余切，记作cotα=；比值叫做α的正割，记作secα=；比值叫做α的余割，记作cscα=.由初中所学的三角形相似的知识可知对于确定的角α,比值和都是唯一确定的，因此正弦和余弦都是角α的函数.当α=+kπ,k∈Z时，角α的终边与和-的终边相同,都落在y轴上，此时P点的横坐标x为0，比值配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础

4、比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求无意义，即此时tanα无意义，除此之外，对于确定的角α(α≠+kπ,k∈Z),比值也是唯一确定的，所以正切也是角α的函数.正弦函数、余弦函数和正切函数都称为三角函数.联想发散函数是由定义域、值域、对应法则三部分构成的，三角函数的自变量是角，比值是函数值，“求正弦”“求余弦”“求正切”等是对应法则.深化升华对于任

5、意角的三角函数应注意以下几点：①角是“任意角”，当β=2kπ+α(k∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等；②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用.③三角函数是以“比值”为函数值的函数；三角函数的值的大小仅与角有关，而与终边上所取的P点的位置无关，即对于确定的角α，这些比值都不会随点P在角α的终边上的位置的改变而改变.④r＞0，但x、y的正负却随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定(今后将专门研究).误区警示sinα、cosα、tanα等三角函数的记法表示一个整体，离开自变量α的sin、

6、cos、tan等都是没有意义的.例如sinα并不表示“sin”与“α”的乘积，就像函数“f(x)”不表示“f”与“x”的乘积一样，sinα是一个比值，如sin，它表示的正弦值，即sin=.同理，cosα、tanα的意义也是一样的.(2)三角函数值的符号由初中所学过的知识我们知道锐角的三角函数均为正值，现在我们把锐角扩充为任意角，并且用坐标定义了任意角的三角函数，则任意角的三角函数的符号又是怎样的呢？要回答这个问题，这就用到了三角函数的定义：sinα=；cosα=；tanα=.由于r为正值，则角α的正弦值的符号与y的符号相同；角α的余弦值的符号与x

7、的符号相同；角α的正切值的符号取决于x、y的符号，当x、y相同时正切值为正值，当x、y符号相异时正切值为负值.所以，当角的终边在第一象限时，由于角α终边上点的坐标均为正值，故角α的三角函数为正值；当角的终边在第二象限时，由于角α终边上点的纵坐标为正值，横坐标为负值，则角的正弦值为正值，其他的三角函数值为负值；当角的终边在第三象限时，由于角α终边上点的坐标均为负值，则角的正切值为正值，其他的三角函数值为负值；当角的终边在第四象限时，由于角α终边上点的横坐标为正值，纵坐标为负值，则角的余弦值为正值，其他的三角函数值为负值.学法一得三角函数的符号是由角

8、终边所在象限所确定的，要想掌握三角函数的符号，应掌握各象限中的点及坐标轴上点坐标的特点.记忆要诀综合三角函数值在各象限的符号，从取正号方