高中数学 1_3 三角函数的图象和性质教材梳理素材 苏教版必修41

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1、在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学1.3三角函数的图象和性质教材梳理素材苏教版必修4知识·巧学1.三角函数的周期性(1)周期函数定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.由诱导公式可知，正弦函数和余弦函数都是周期函数，每一个非零常数2kπ(k∈Z,k≠0)都是

2、它们的周期.深化升化周期函数x∈定义域M，则必有x+T∈M,且若T＞0则定义域无上界；T＜0则定义域无下界，且如果一个函数是周期函数，它的周期T往往是多值的(如y=sinx,2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期).对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.例如，2π是正、余弦函数所有周期中的最小正数，则2π是正弦函数和余弦函数的最小正周期.但应注意并不是所有的周期函数都存在最小正周期.如函数f(x)=1，对于任意实数T都有f(x+

3、T)=f(x)=1，所以只要T是非零常数，则T就是函数f(x)=1的周期，而在实数中并不存在最小的正数，则函数f(x)=1不存在最小正周期.联想发散由正切线可知，正切函数也是周期函数，它的每一个周期为非零常数kπ(k∈Z,k≠0)，它的最小正周期为π.(2)函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)(其中A、ω、φ是常数，且A≠0,ω＞0)的最小正周期.一般地，函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)(其中A、ω、φ是常数，且A≠0,ω＞0)的最小正周期T=.误区警示公式

4、T=求周期只适用于函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)的周期且应具有条件“ω＞0”，比如要求y=3sin(-2x+1)的最小正周期,若利用公式T=，所求的最小正周期为T==-π，结论是错误的.其正确结果应为T===π.因此，在求y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ)的周期时还应注意具体问题具体分析，即应注意题目中所给的条件是否有条件“ω＞0”，若有，则它们的最小正周期为T=，否则它们的最小正周期为T=.联想发散函数y=Atan(ωx+φ)及函数y=Acot(ωx+φ)

5、(其中A、ω、φ是常数，且A≠0,ω＞0)的最小正周期为T=.2.三角函数的图象和性质(1)正弦函数的图象配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求对于一类函数，我们主要

6、研究它们的性质，而在三角函数中，正、余弦函数的性质是重点.为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象.由于余弦函数y=cosx=sin(x+)，则余弦函数的图象与正弦函数的图象的形状相同，它可由正弦函数的图象经过平移得到，则只要画出正弦函数的图象，就可以得到余弦函数的图象.由上述内容可知，正弦函数y=sinx是以2π为最小正周期的周期函数，则只要画出y=sinx在区间［0,2π］上的图象，就可以得到整个图象，而y=sinx在区间［0,2π］上的图象可由单位圆中的有向线段得到.画y=sinx在区

7、间［0,2π］上的图象的思路如下：①先作单位圆，把⊙O1十二等分(当然分得越细，图象越精确)；②十二等分后得对应于0,,,,…,2π等角，并作出相应的正弦线；③将x轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”；④取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合；⑤描图(连结)得y=sinx,x∈［0,2π］.其具体步骤如下：在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从⊙O1与x轴的交点起把⊙O1分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，图象越精确).过⊙O1上

8、各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0,,,,…,2π等角的正弦线(如图1-3-2，有向线段O1B对应于角的正弦线)，相应地，再将x轴从0到2π分为12等份(如图1-3-2，从原点起向右的第四个点就是对应于角的点).把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合(如图1-3-2，把正弦线O1B向右平移，使点O1与x轴上的点重合).再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了y=sinx，x∈［0,2π］的图象(如图1-