高中数学 3_3 几个三角恒等式教材梳理素材 苏教版必修41

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1、在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学3.3几个三角恒等式教材梳理素材苏教版必修4知识·巧学1.积化和差恒等式由于sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，则不难得出sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］.同理可得cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)],这组等式称为三角函数积化和差公式，熟悉

2、结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算.在告知公式前提下利用该组公式进行运算.记忆要诀在积化和差公式的展开式右边的函数名称可简记为“同余弦，异正弦”，即当展开式为两个角的正弦积或余弦积时，展开式为两角和与差的余弦；当展开式为两角的正弦与余弦之积时，展开式为两角和与差的正弦.深化升华积化和差公式实现了运算结构和角的转化，它将两个角的正余弦之积转化为这两个角和与差的正弦或余弦和差的形式.2.和差化积恒等式与万能公式若令α+β=θ,α-β=φ，则α=，β=，代入sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]得sincos=［sin(+)+s

3、in(-)］=(sinθ+sinφ).∴sinθ+sinφ=2sincos.同理，可得sinθ-sinφ=2cossin，cosθ+cosφ=2coscos，cosθ-cosφ=-2sinsin，这组等式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用.辨析比较和差化积公式也实现了运算结构与角的转化，只不过它是将两个角正弦和与差或余弦和与差的形式化为两角和差一半的正余弦积的形式，它与积化和差公式相辅相成，配合使用.3.万能代换公式配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比

4、进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求由于sinα==,cosα=，tanα==,即sinα=,cosα=,tanα=.上述三个公式统称为万能公式(不用记忆).这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切即：f(tan).所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁.上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小.典题·热题例1在△ABC中，若sinBs

5、inC=cos2，则△ABC是()A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形思路解析：由于sinBsinC=cos2,A+B+C=π，所以有-［cos(B+C)-cos(B-C)］=(1+cosA)，-［-cosA-cos(B-C)］=(1+cosA).所以cos(B-C)=1.又B、C为三角形内角，则必有B-C=0.故三角形为等腰三角形.答案：B妙解提示本题也可以利用反代法，先验证等腰直角三角形，再验证正三角形即可得出正确结论.例2计算sin69°-sin3°+sin39°-sin33°.思路分析：应用和差化积、两角和与差三角公式，二倍角公式，在解题时可尽

6、可能地出现相同角或特殊角.解：原式=(sin69°+sin39°)-(sin33°+sin3°)=2sin54°cos15°-2sin18°cos15°=2cos15°(sin54°-sin18°)=2cos15°·2sin18°cos36°配合各任课老师，激发学生的学习兴趣，挖掘他们的学习动力，在学生中培养苦学精神，发扬拼搏精神，形成以勤学为荣的班风；充分利用学校开展的“不比基础比进步，不比聪明比勤奋”以及具有储能特色的“当月之星”的评选活动，积极探索素质教育的新途径在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范

7、等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求=2cos15°·=2cos15°·=cos15°=cos(45°-30°)=.方法归纳在利用和差化积公式求值时，要尽量出现两角和与差为特殊角或为相同角，以便于求值和提取公因式.例3已知=-5，求3cos2θ+4sin2θ的值.思路分析：本题应用万能公式和同角三角函数基本关系式.可先由已知得出tanα的值，再利用万能公式解题.解：∵=-5,∴cosθ≠0(否则2=-5).∴=-5,解之，得tanθ=2.∴原式=.方法归纳利用万能公式对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题