运用转化思想巧解一元二次方程的教学研究

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时间:2019-01-10

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1、运用转化思想巧解一元二次方程的教学研究  摘要:从数图交融、灵活解题,开方熟记、类比解题,因式降次、快速解题三方面研究运用转化思想巧解一元二次方程的教学,使学生在一元二次方程的解题中学会转化的思维。  关键词:数学;一元二次方程;转化思想;解题  中图分类号:G633.6文献标志码:A文章编号:1008-3561(2016)33-0089-01  转化是数学教学中的一种重要的思维,运用这种思维可将未知的变为已知的,复杂的变为简单的,或者构建数学模型来解题。一元二次方程是学生们比较棘手的模块,将这种思想迁移到这里会很有必要。传统的求根通式虽然是万能的,但是往往

2、会增加非常大的计算量,因此教师给学生讲授转化思想尤为重要。  一、数图交融,灵活解题  一元二次方程都对应着相应的抛物线图像。方程的根下既定的区间内,借图来研究端点的正负、顶点的位置和判别式,可将根的条件转化成方程系数的问题,用多个条件来限制,进而准确得到答案。以基本方程ax2+bx+c=0为例,a的正负号代表着图像的开口情况,a大于0即开口向上,反之向下。图像的对称轴为-b/2a,往往题目中会限定x的区间,简单画出图像将会大大减少思考的难度。以上图为例(图略)α、β为区间的两个端点,由于α、β4的不同,根的包含情况也不同。下面看一道题目,如果方程(1-m2

3、)x2+2mx-1=0的两个根一个小于0,另一个大于1,试确定m的范围。这是一道求范围的题目,首先联想一元二次方程,公式里面出现了大于号和小于号。有两个解,说明△>0,但是如果用公式就出现m4,这是答题者不愿意看到的。再看题目中的条件,(1-m2)的正负不知道,当它大于0时,开口向上,此时x=1时,(1-m2)f(1)<0,即可得(m2-1)(m2-2m)<0,解不等式组得:-1

4、。  二、开方熟记,类比解题  学生在平时的学习中也可以用类比的思想来找出新旧知识的联系,从而在新旧知识的比较中更好更快地掌握新知识。配方法的理论依据是完全平方公式a+b±2ab=(a±b),配方法需要五个步骤。第一,将原方程化为一般形式。第二,式子的两边除二次项的系数,使其变为1,再将常数项传到方程的右边。第三,方程的两边加上一次项系数一半的平方。第四,开始配方,式子的右边为常数,左边是完全平方式。第五,开方求解,注意常数项的正负。如果可以将式子的左边通过变形成平方的形式,右边是一个大于0的常数,那么就可以用这种方面来解题。这种类型基本有三种形式:1)x2

5、=a(a≥0)、2)(x+m)2=n(n≥0)、3)(mx+n)2=c(m≠0且c≥0)。这些都是开方法来解题的通式,如果能将式子变成这样,那么就能剩下很多时间。比如(x-5)2-36=0,这是变形后的,将它复原成一般式x2-10x-11=0,就可以清楚地4看到二次项和一次项的系数可以变成平方的形式,基本上二次项系数为1的情况都可以用开方的方法来求解。同样,如果二次项的系数不为1,如2x2-10+25=0,可以进行变形(x-5)2=x2,这样就要求一次项和常数项的系数了。这种方法要求学生能准确观察出配方的形式,教师可以通过将二次方程转化为一次方程,将这种用有

6、未知向已知转化的思想渗透给他们,从而培养他们的计算能力和抽象概括能力。  三、因式降次,快速解题  因式分解要求的层面更加高,这些题可以考查学生的观察能力和技巧。因式分解同样用到了降次的思想,以整化归,只要掌握技巧,那么这类题就会变得很简单。一般的因式分解需要四个步骤,首先将等式的右边所有项移到左边,接着将方程的左边化成式子想乘的形式,然后让每个分解出来的因式都为0,最后去解两个式子中的x。因式分解中的提公因式相对简单,如2x2+3x=0,x(2x+3)=0,即x=0或2x+3=0,即得方程的解为0和-2/3。在因式分解中,比较难的是十字相乘法,它也是运用了

7、转化思想,以下图为例。  十字相乘法是借助了十字交叉线来分解,首先是将二次项系数和常数项系数都分解为两个数的乘积,然后将四个数并排排列,使其交叉相乘,再将相乘的数加在一起,看是否得出来的数是一次项的系数。若不是,将排列方法变换或将系数换成另外两个数的乘积,再算;若是,就将分解的式子按横的方式书写,进而求解。比如6x2+16x+15=0,首先将6分解为2和3,将15分解为3和5,2×5+3×43=19,即这种方法的分解是可行的。在书写因式的时候,要将2和3结合,3和5结合,即(2x+3)(3x+5)=0,解得x=-2/3或-5/3。其实,因式分解可以解决所有的

8、式子,一般情况下出题人会优先考查因式分解中的十字相乘

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