巧转化妙求解 梯形中的转化思想

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1、巧转化妙求解梯形中的转化思想“转化”方法是研究和解决数学问题的一种有效的思考方法，是运用事物之间互相联系的观点，把未知变为已知，把复杂变为简单的思维方法。《数学课程标准》中指出：数学学习应当使学生“形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神”。因此，我们在数学教学中，就应渗透数学转化思想，有意识地培养学生学会用“转化”思想解决问题，从而提高数学能力。本文通过梯形中一些问题的解决谈谈如何应用转化思想。一、巧作辅助线平移梯形的上底到下底或下底的延长线上将平行线转化成共线问题。例1、如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，

2、对角线AC、BD相交于点O，且∠BOC=120°，BD=6，求：梯形ABCD的面积；解法1：如图1，过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，思维的层次如下：①易证明四边形AEFD是矩形，从而得到：AD=EF；②易证Rt△AEC≌Rt△DFB，且∠BOC=120°，从而得到：∠OBC=∠OCB=30°，故AE=DF=3；③在Rt△DFB、Rt△AEC中，根据勾股定理，可得：BF=CE=3；④根据公式得：ACD图2B例2、如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且AC=12，BD=9，则此梯形的中位线长是CA．B．C．D．

3、解：如图3、过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，∵AD//BC，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∴AC=DE=12，∴∠BOC=∠BDE=90°，在直角三角形BDE中，根据勾股定理，得：所以此梯形的中位线长是：C故选（C）．二、巧作辅助线平移、旋转三角形将梯形问题转化成矩形问题求解。例3、、如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点O，且∠BOC=120°，BD=6，求：梯形ABCD的面积；解：如图四，过点A、C分别作AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分别为E、F，思维的层次如下：①易证明四边形AECF是矩形，从

4、而得到：S四边形AECF=S四边形AECD+S△CDF②易证Rt△ABE≌Rt△CDF，从而得到：S△CDF=S△ABE，所以，S四边形AECF=S四边形AECD+S△ABE=S梯形ABCD③因为∠BOC=120°，从而得到：∠OCB=30°，故AE=3；Rt△AEC中，根据勾股定理，可得：CE=3；④所以，S梯形ABCD=S四边形AECF=CE×AE=3×3=9三、等腰梯形中巧作辅助线平移一条对角线将梯形问题转化成等腰三角形问题求解。例4、如图，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于点O，且∠BOC=120°，BD=6，求：梯

5、形ABCD的面积；解：如图五，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，∵AD//BC，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE，∴AC=DE=BD=6，∴△BDE是等腰三角形，∴∠BOC=∠BDE=120°，∴∠DBC=∠DEB=30°，过点D作DM⊥BC，交BC于M，∴BM=ME，∴在直角三角形BDM中，DM=3，根据勾股定理，得：=ME，所以：四、等腰梯形中巧作辅助线平移一条对角线将梯形问题转化成等腰直角三角形问题求解。例5、在数学活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm2，则对角线需要的竹条至少为：A、

6、B、30cmC、6ocmD解：如图六，过点C作CE∥BD，交AB的延长线于点E，∵AB∥DC，∴四边形DBEC是平行四边形，∴CD=BE，∴AC=CE=BD，∴△ACE是等腰三角形，∴∠AOB=∠ACE=90°，∴△ACE是等腰直角三角形，过点D作DM⊥BC，交BC于M，∴BM=ME，故选（C）。五、等腰梯形中巧作辅助线平移一条腰将梯形问题转化成等腰三角形问题求解。例6、等腰梯形的高等于两底差的一半，则腰与下底的夹角为。解：如图七，过点D作DE∥AB，交BC于点E，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE，AD=BE，∵AB=CD∴CD=

7、DE，∴△DCE是等腰三角形，过点D作DF⊥BC，交BC于F，∴EF=FC，∴BC-AD=BC-BE=EC=2EF=2FC，∵DF=，∴DF=FC，∴∠DCF=45°，故腰与下底的夹角为45°，所以填45°六、梯形中巧作辅助线平移、旋转三角形将梯形问题转化成三角形问题求解。例7、如图八，已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点。求证：S△ADE=S梯形ABCD解：延长DE、AB二线交于点M，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠MBE，∵∠DEC=∠MEB，E为BC的中点，∴△DCE≌△MBE∴DE=EM，S△DCE=S△MBE，∵DE=EM，∴S△AD

8、E=S△AEM=S△ADM∴S△ADE=S梯形ABCD七、梯形中巧作辅助线平移一