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1、例谈“转化思想”的运用福建省永定县城关中学364100童其林高中课程标准指出：数学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化的观点是辩证唯物主义教育的主要因索之一.而数学解题就是实现从条件到结论的转化工作.因此，运用冇关的数学思想方法来解决问题的过程，也就是学习和学握矛盾转化这一唯物辩证法的过程.关于转化思想的实例，在代数式的恒等变形、方程的同解变形等都是大家熟知的•又如解方程中从高次向低次、从多元向一元的转化，立体几何中的空间与相应的平面问题的转换，都是转化思想的体现.下面我们将结合例题（侧重代数推理数），具体谈谈转化思想
2、方法的运用.1借助构造法进行转化构造法是通过构造一个与原命题相关的新命题，通过对新命题的研究达到解决原命题的目的.为了实现矛盾的转化，数学解题中经常使用构造法.厉“'八、/心液ruV4-n03+2006（%-1）=-1例1设x、y为实数，且硒足｛.,0-1）3+20060-1）=1求证x+y=1.八
3、?-rn/rt―/I[(X—I)3+2006(%—1)=—1分析原方程组可化为：(1-y)+2006(1-y)=-1令/（/）=八+2（）06匚贝IJ有/（兀一1）=/（1—y）,又易证/（『）=尸+2006（在R上单调递增（可
4、用定义或导数证明，这里略）.・*.x-1=1-y,故x+y=1・例2已知a、b、c是实数且a+b+c=0,abc=1,求证a、b、c中必有一个人于（•分析a+b+c=0JLabc=1,可知a、b、c中两数为负一数为正.由对称性不妨设c〉0・Ta+b=-c.ab=—c・•・可构造以a、b为根的一元二次方程x2+cx+-=Oc4・.・a、b为实数・A=c2—一>0,又c〉0Ac3-4>0,即卫4cV82说明构造法是实现解题转化最富有活力的方法之一，作为构造的数学模型可以是几何图形，也可以构造方程、函数、不等式、向量、数列等.通
5、过构造法解题可融汇各部份的数学知识于一体，便于完成矛盾转化和问题的解决，同时对培养类比、联想和创造性思维能力都有独到的作用，我们在学习中应予重视.2通过数形结合进行转化数学是研究空间形式和数量关系的科学•数形之间的关系是很密切的，〃数缺形时少直观，形缺数时欠入微〃.数形结合，两者间的相互转化是解题的常用方法之一.例3(1985年全国高考题)设a、b是两个实数,A={(x,y)x=n,y=na+b,n是整数},B={(x,y)x=myy=3/7?2+15,加是整数},C={(x,y)lx2+y2<144}，讨论是否存在a和b
6、使得:⑴ARBH0；(2)(a,b)eC同时成立？分析因为A、B、C都是坐标平面内的点集，故可考虑从儿何意义出发，施行数形转化.观察题设知集合A是直线y=处+b上x取整数时的点集，集合B是抛物线y=3,+15上x取整数时的点集.ADBH0,即存在整数门满足M+b=3/+15,也即点(a,b)在直线l:nx+y-(3/?2+15)=0上.(a,/?)gC,即点(a,b)在圆兀2+〉，2=144的内部或边界上.因此题设条件要求⑴与⑵同时成立，即表明圆心(0,0)到直线/的距离不人于圆*+),2=]44的半径，即3z2t^<12①V
7、/i2+12但事实上，3/'+15=37n2+l+——>12z当且仅当3厶？+1二厶？+17n2+l朽，即宀3吋等号成立.由卄为整数，所以等号不可能成立，从而有翳>12,这表明①式不成立.故满足题设条件的实数a、b不存在.说明木题的解法很多，但我们由数联想到形，直接洞察问题的木质，使解法新颖简洁.例4设x、y、z都为正数，求证J"_与+），2*_w+F>Jz?-/分析如图，构造三棱锥S—ABC,使SA=x,SB=y,SC=z,且ZASB=ZBSC=ZASC=60°,贝【JAB=yjx2+y2-2xycos60°=^x2-xy+
8、y2.同理可得BC=yjy2-yz-i-z2,AC=7z2-zx+x2・・•三角形两边之和大于笫三边，即AB+BOAC・••命题成立3特殊与一般的转化事物的共性寓于个性之中，要解决一般性问题可从特殊情形入手，通过尝试归纳再推向一般.而一些特殊问题，也可寻求一般性的结论，进而求解.一般与特殊之间的相互转化也是常用的解题方法之一.例5已知数列他｝满足是否存在等差数列｛仇｝,使色+•••+$《；对一切正整数门成立，并证明你的结论.分析假设存在等差数列｛仇｝使等式对一切正整数n成立.分别令n=1,2,3,得:1*<4=农+/皿12=勺
9、(7；+仇&+仇&推测bn=nf显然｛仇｝是等差数列.下面证明对一切neTV*,等式斤•2心=C+2C；+3C：+…成立・••Qk瓊占跖汽弗即c・・・C：+2C；+3C；+・・・+g"一1?1-
10、=忆紅+“C二+/<_】+•••+M；：：=n•2心故存在等差数列｛bn｝=｛
