计数问题（二）_设计

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1、年级六年级学科奥数版本通用版课程标题计数问题（二）编稿老师宋玲玲一校林卉二校张琦锋审核张舒几何图形计数问题还必须灵活地运用几何图形的有关基本概念和基本知识，根据几何图形的特征，合理分类，巧妙计算，就能达到正确、简便的目的。用分类方法解答小学数学中某些智力性思考题或竞赛题时，能巧妙地找到正确答案，而小学生在运用这种方法时往往出现思路不清，层次不明，逻辑思维不严密等情况，计算时容易产生重复和遗漏的错误。因此，用分类方法解题时必须注意几个问题。（1）分类必须有明确的标准。在解题前必须根据题目要求确定分类的标准，即根据什么来分类的原则。（2）分类要注意层次。比较复杂的题目

2、可以先分成大类，然后再将每个大类分成若干小类，分层次进行。（3）分类计数时应防止重复或遗漏。分类时应注意要做到既不重复又不遗漏，这是使所得结果准确无误的保证。合理的分类是解题的关键，而分类不重复又不遗漏是使所得结论准确的保证，同时也是检验分类是否正确的一种方法。几种一般图形的计数方法：（1）数长方形长边上有多少条线段：4＋3＋2＋1＝10（条）。宽边上有多少条线段：3＋2＋1＝6（条）。长方形总数：10×6＝60（个）。（2）数平行四边形方法与数长方形相同，总数为：（4＋3＋2＋1）×（3＋2＋1）＝60（个）。（3）数正方形边长为1的正方形：7×4＝28（个）。

3、边长为2的正方形：6×3＝18（个）。边长为3的正方形：5×2＝10（个）。边长为4的正方形：4×1＝4（个）。正方形的总数：28＋18＋10＋4＝60（个）。例1数一数下图中共有多少个长方形？分析与解：为了方便计数，我们将图中每个小长方形标上数字，以“块”分类、进行计数。由1块组成的长方形：7个。由2块组成的长方形：[①②]、[②③]、[④⑤]、[⑤⑥]、[⑥⑦]、[②⑥]、[③⑦]，共7个。由3块组成的长方形：[①②③]、[④⑤⑥]、[⑤⑥⑦]、[①④⑤]，共4个。由4块组成的长方形：[④⑤⑥⑦]、[②③⑥⑦]，共2个。由5块组成的长方形：[①②④⑤⑥]，共1

4、个。由7块组成的长方形：1个。因此，图中共有长方形7×2＋4＋2＋1＋1＝22（个）。答：图中共有22个长方形。例2数一数下图中共有多少个长方形？分析与解：对于这类图中有明显重复部分的复杂图形，在计数时应尽量将其拆分为简单的图形来解决。本题中的复杂图形就可拆分成两个相对简单的图形，如图所示：图1图2图1中共有长方形：（3＋2＋1）×（4＋3＋2＋1）＝60（个）。图2中共有长方形：（3＋2＋1）×（3＋2＋1）＝36（个）。由于图1与图2中的阴影部分中的3个长方形在两个图形中均有出现，被重复计算了1次，因此共有长方形60＋36－3＝93（个）。此外，将图2叠加到图

5、1中，会在下图粗线所示的区域内出现新的长方形。图3中所画区域内，新出现的长方形分别以AB、AE、FE、FB的长度为长。因此，长方形的个数是4×（2＋1）＝12（个）。图4中所画区域内，新出现的长方形分别以IH、IG为宽，长方形的个数是2个。因此，图中的长方形共有93＋12＋2＝107（个）。答：图中共有107个长方形。例3下列图中共有多少个正方形？分析与解：可先来看看图B的两个图中，各含有多少个正方形。图B（1）中，正方形个数是：4×4＋3×3＋2×2＋1×1＝30（个）；图B（2）中，正方形个数是：6×3＋5×2＋4×1＝32（个）；如果把图A中的图形，分成5×

6、6和4×11两个长方形，则：5×6的长方形中共有正方形5×6＋4×5＋3×4＋2×3＋1×2＝70（个）；4×11的长方形中共有正方形4×11＋3×10＋2×9＋1×8＝100（个）。两个长方形相交部分4×5的长方形中含有正方形4×5＋3×4＋2×3＋1×2＝40（个）。所以，图A中共有正方形70＋100－40＝130（个）。例4数一数，下图中共有多少个长方体（不包含正方体）？分析与解：大长方体的边AB上有线段：5＋4＋3＋2＋1＝15（条），边BC上有线段：4＋3＋2＋1＝10（条），边CD上有线段：3＋2＋1＝6（条）。长方体的总数（包含正方体）：15×10×

7、6＝900（个）。假设小正方体的棱长为1，可以得到：棱长是1的正方体的个数：5×4×3＝60（个）。棱长是2的正方体的个数：4×3×2＝24（个）。棱长是3的正方体的个数：3×2×1＝6（个）。因此，图中共有长方体（不包含正方体）的个数为：900－（60＋24＋6）＝810（个）。答：图中共有810个长方体。例5下图中共有多少个正方形？分析与解：将图形拆分成图1和图2两部分，分别计数，然后求和。图1中正方形的个数：8＋2＝10（个）。图2中正方形的个数：32＋22＋12＝14（个）。所以，图中共有正方形：10＋14＝24（个）。答：图中共有正方形24个。例6数一数

8、，下图中包