计数问题（一）_设计

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1、年级六年级学科奥数版本通用版课程标题计数问题（一）编稿老师宋玲玲一校林卉二校张琦锋审核张舒在数学竞赛试题中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指计算满足一定条件的图形的个数。它的内容比较新颖有趣，为了准确计数，必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果。图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧。实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法——枚举法。具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总和。正确地解答较复杂的图

2、形计数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯。几种一般图形的计数方法：数线段基本线段：AB、BC、CD、DE、EF，共5条。线段的总数：除了5条基本线段外，由2条基本线段组成的线段有4条，由3条基本线段组成的线段有3条，由4条基本线段组成的线段有2条，由5条基本线段组成的线段有1条。所以共有5＋4＋3＋2＋1＝15（条）。（1）数角基本角：∠AOB、∠BOC、∠COD、∠DOE，共4个。角的总数：4＋3＋2＋1＝10（个）。（3）数三角形BC边上有多少条线段，图中就有多少个三角形。因此可将数三角形问题转化为数线段问题。顶点A处有多少个

3、角，图中就有多少个三角形，因此也可将数三角形问题转化为数角问题。三角形的总数：4＋3＋2＋1＝10（个）。例1数一数下图中共有多少条线段？共有多少个三角形？分析与解：①要数有多少条线段，先看线段AB、AD、AE、AF、AC上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段。所以图中共有线段：（3＋2＋1）×5＋（4＋3＋2＋1）×3＝30＋30＝60（条）。②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成的基本小三角形有4个。所以在△AGH中共有三角形4＋3＋2＋1＝10（个）。在

4、△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形的个数共为：（4＋3＋2＋1）×3＝10×3＝30（个）。例2下图中共有多少个三角形？其中有多少个三角形含有“＊”？分析与解：（1）先数出在不添加线段BD的情况下，图中共有多少个三角形；添加线段BD后将△ABC分成△ABD和△BCD两个区域，分别数出这两个区域内三角形的个数，即可知道图中共有多少个三角形。△ABC内（不添加BD）共有三角形：5＋4＋3＋2＋1＝15（个）。△ABD内共有三角形：5＋4＋3＋2＋1＝15（个）。△BCD内共有三角形：5个。因此，图形中共有15×2＋5＝3

5、5（个）三角形。（2）含有“＊”的三角形在△ABC（不添加线段BD）和△ABD这两个区域内，并且个数相同。因此只需数出△ABD区域内有多少个三角形含有“＊”，即可解决问题。为了方便说明，我们不妨将BD边上每条基本线段的长度都看作1。以哪些线段作为底边的三角形内含有＊呢？长度为1：线段FG长度为2：线段EG、FH长度为3：线段BG、EH、FD长度为4：线段BH、ED长度为5：线段BD△ABD区域内含有“＊”的三角形的个数：1＋2＋3＋2＋1＝9（个）。因此，含有“＊”的三角形的个数是：9×2＝18（个）。答：图中共有35个三角形，其中有18个三角形

6、含有“＊”。例3数一数下图中共有多少个三角形？分析与解：我们可以将三角形分成“尖向上”和“尖向下”两类，并假设每一个最小的三角形的边长为1。（1）“尖向上”的三角形边长为1的有：1＋2＋3＋4＝10（个）。边长为2的有：1＋2＋3＝6（个）。边长为3的有：1＋2＝3（个）。边长为4的有：1个。因此，“尖向上”的三角形共有10＋6＋3＋1＝20（个）。（2）“尖向下”的三角形边长为1的有：1＋2＋3＝6（个）。边长为2的有：1个。因此，“尖向下”的三角形共有6＋1＝7（个）。图中共有三角形：20＋7＝27（个）。答：图中共有27个三角形。例4数一数

7、，图1中有多少条线段？图2中有多少个小于180°的角？分析与解：将图1中的折线分成3段，分别计数，然后求和。（2＋1）＋（3＋2＋1）＋（4＋3＋2＋1）＝19（条）。在图2中，10条射线构成9个基本角，因此共有：9＋8＋…＋2＋1＝45（个）小于180°的角。答：图1中有19条线段，图2中有45个小于180°的角。例5数一数，下面的图形中有多少个三角形？分析与解：将图中的三角形分为“尖向上”和“尖向下”两类，并假设每个最小三角形的边长为1，分别计数，然后求和。（1）“尖向上”的三角形边长是1的三角形：3＋4＋3＋2＝12（个）。边长是2的三角形

8、：3＋2＋1＝6（个）。边长是3的三角形：1个。共有12＋6＋1＝19（个）“尖向上”的三角形。（2）由于图形是中心对称的，因此“尖向下